Question

1. Найдите общий вид первообразных F(х) для функции f (х): а) f (х) = х + 2; б) f (х) = х^3 – 2х + 1; в) f (х) = х^2 + соs х 2. Найдите ту первообразную функции, график которой проходит через начало координат f (х) = 2х^2 – 3х + 1. 3. Пусть F(х) – первообразная функции f (х) = х^2 – х . Найдите промежутки монотонности и точки экстремума. Помогите пожалуйста

Answer 1

1)а) f (х) = х + 2;
F(x) =x²/2 + 2x + C
 б) f (х) = х^3 – 2х + 1;
F(X) = x^4/4 -2x²/2 + x + C = x^4/4 - x² + x + X
в) f (х) = х^2 + соs х
F(X) = x³/3 + Sinx + C
2. Найдите ту первообразную функции, график которой проходит через начало координат (0;0)
f (х) = 2х^2 – 3х + 1. 
F(x) = 2x³/3 - 3x²/2 + x + C
0 = 0 + C
C = 0
Ответ: F(x) = 2x³/3 - 3x²/2 + x
3. Пусть F(х) – первообразная функции f (х) = х^2 – х . 
f'(x) = 2x -1
2x -1 = 0
x = 1/2
это точка минимума.
х∈( -∞; 1+2) - это промежуток убывания f(x)
х∈(1/2;+∞) - это промежуток возрастания.

Answer 2

Решение:

1. Для каждой функции найдем ее первообразную:

а) $f(x) = x^2$

б) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2 + x$

в) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \sin(x) + 2x$

2. Найдем первообразную функции $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$, график которой проходит через начало координат. Для этого решим уравнение:

$F(x) = \int (2x^2 - 3x + 1) dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C$

Подставив $F(0) = 0$, получаем $C = 0$. Таким образом, первообразная функции $f(x)$, проходящая через начало координат, имеет вид:

$F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x$

3. Найдем промежутки монотонности и точки экстремума для функции $f(x) = x^2 - x$.

Для этого найдем производную функции:

$f'(x) = 2x - 1$

Промежутки монотонности определяются знаками производной. Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2x - 1 > 0$

$x > \frac{1}{2}$

Таким образом, функция $f(x)$ возрастает на интервале $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x - 1 < 0$

$x < \frac{1}{2}$

Таким образом, функция $f(x)$ убывает на интервале $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$.

Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю:

$2x - 1 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ является точкой минимума для функции $f(x)$.

Ответ:

а) $F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C$

б) $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2 + x + C$

в) $F(x) = \frac{1}{3}x^3 + \sin(x) + 2x + C$

где $C$ - произвольная постоянная.

Функция $F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x$ является первообразной функции $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$, проходящей через начало координат.

Промежутки монотонности функции $f(x) = x^2 - x$:

$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$ - убывает

$\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ - возрастает

Точка экстремума: $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$