Question

Решите систему уравнений: x^{2}+3x+y^{2}=2, x^{2}+3x−y^{2}=−6

Answer 1

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод исключения или метод подстановки. Давайте решим систему уравнений поочередно с помощью метода подстановки.

Первое уравнение: \(x^{2} + 3x + y^{2} = 2\) (Уравнение 1) Второе уравнение: \(x^{2} + 3x - y^{2} = -6\) (Уравнение 2)

Решение по методу подстановки:

1. Решим Уравнение 1 относительно \(x\): \[x^{2} + 3x + y^{2} = 2\] \[x^{2} + 3x = 2 - y^{2}\] \[x(x + 3) = 2 - y^{2}\] \[x = \frac{{2 - y^{2}}}{{x + 3}}\] (Уравнение 3)

2. Подставим значение \(x\) из Уравнения 3 в Уравнение 2: \[(\frac{{2 - y^{2}}}{{x + 3}})^{2} + 3(\frac{{2 - y^{2}}}{{x + 3}}) - y^{2} = -6\] \[\frac{{(2 - y^{2})^{2}}}{{(x + 3)^{2}}} + \frac{{3(2 - y^{2})}}{{x + 3}} - y^{2} = -6\] \[(2 - y^{2})^{2} + 3(2 - y^{2})(x + 3) - y^{2}(x + 3)^{2} = -6(x + 3)^{2}\] (Уравнение 4)

3. Раскроем скобки в Уравнении 4 и приведем подобные слагаемые: \[4 - 4y^{2} + y^{4} + 6(2 - y^{2})(x + 3) - y^{2}(x^{2} + 6x + 9) = -6(x^{2} + 6x + 9)\] \[4 - 4y^{2} + y^{4} + 12 - 6y^{2} + 6x + 18 - y^{2}x^{2} - 6xy^{2} - 9y^{2} = -6x^{2} - 36x - 54\] \[y^{4} - y^{2}x^{2} - 16y^{2} - 6xy^{2} + 6x + 6x^{2} = -64\] (Уравнение 5)

4. Решим Уравнение 5 относительно \(y^{2}\): \[y^{4} - y^{2}x^{2} - 16y^{2} - 6xy^{2} + 6x + 6x^{2} + 64 = 0\] \[y^{2}(y^{2} - x^{2} - 16 - 6x) + 6(x + x^{2} + 10) = 0\] \[y^{2} = \frac{{-6(x + x^{2} + 10)}}{{y^{2} - x^{2} - 16 - 6x}}\] (Уравнение 6)

5. Подставим значение \(y^{2}\) из Уравнения 6 в Уравнение 3: \[x = \frac{{2 - (\frac{{-6(x + x^{2} + 10)}}{{y^{2} - x^{2} - 16 -