Question

найдите координаты точек прямой х+у+13=0,расстояние от которых до центра окружности (х+2)^2 + (у-3)^2 =25 равно диаметру окружности

Answer 1

Центр окружности имеет координаты:

О(-2; 3)

Пусть х - абсцисса точки прямой, удаленной от центра О на расстояние 2R = 10.

Тогда ордината этой точки:

у = -х-13

Итак расстояние между точками (-2; 3) и (х; -х-13) должно быть равно 10 (диаметр окружности).

$(x+2)^2+(-x-13-3)^2=100.$

$(x+2)^2+(x+16)^2=100;\ \ \ 2x^2+36x+160=0.$

$x^2+18x+80=0;\ \ \ x_1=-10;\ \ \ \ x_2=-8.$

$y_1=-3;\ \ \ \ y_2=-5.$

Ответ: (-10; -3);  (-8; -5)

 

Answer 2

Для начала, найдем координаты центра окружности. Уравнение окружности дано в виде (x+2)^2 + (y-3)^2 = 25. Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением окружности (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра, а r - радиус окружности, получаем a = -2, b = 3.

Следовательно, центр окружности имеет координаты (-2, 3).

Теперь найдем уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой x+у+13=0 и проходящей через центр окружности.

Уравнение данной прямой имеет вид x+у+13=0. Чтобы найти уравнение перпендикулярной прямой, необходимо поменять знаки коэффициентов при x и у, а затем поменять их местами и изменить знак одного из них. Получаем уравнение -x+y+c=0, где c - неизвестный коэффициент.

Так как эта прямая проходит через центр окружности (-2, 3), подставим эти координаты в уравнение прямой и найдем значение c:

-(-2) + 3 + c = 0 2 + 3 + c = 0 5 + c = 0 c = -5

Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой имеет вид -x + y - 5 = 0.

Теперь найдем точки пересечения прямой x + у + 13 = 0 и перпендикулярной ей прямой -x + y - 5 = 0.

Решим эту систему уравнений:

x + у + 13 = 0 -x + y - 5 = 0

Сложим оба уравнения:

2y + 8 = 0 2y = -8 y = -4

Подставим значение y в одно из уравнений и найдем x:

x + (-4) + 13 = 0 x + 9 = 0 x = -9

Таким образом, точка пересечения данных прямых имеет координаты (-9, -4).

Следовательно, координаты двух точек прямой x + у + 13 = 0, расстояние от которых до центра окружности (-2, 3) равно диаметру окружности, равны (-9, -4) и (-2, 3).