Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3 - 3x^2 - 9x + 10 [-2;4]

Answer 1

$f(x)=x^{3}-3 x^{2} -9x+10$
$f'(x)=3 x^{2} -6x-9$
$3 x^{2} -6x-9=0 \\ x^{2}-2x-3=0$
D=4-4×(-3)=4+12=16
$x_{1}= \frac{2+4}{2}=3 \\ \\ x_{2} = \frac{2-4}{2}= -\frac{2}{2}=-1$

_______+_____________-_______________+___________
         (возр)   -1        (убыв)          3        (возр)

Числа -1 и 3 входят в промежуток [-2; 4]

$f(-2)=-8-12+18+10=8$
$f(-1)=-1-3+9+10=15$
$f(3)=27-27-27+10=-17$
$f(4)=64-48-36+10=-10$

у наиб=$f(-1)=15$
y наим=$f(3)=-17$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10 на интервале [-2; 4], мы можем использовать несколько методов, включая графический анализ, нахождение критических точек и использование второй производной.

Графический анализ

Первым шагом мы можем нарисовать график функции f(x) на интервале [-2; 4]. По графику мы можем определить наибольшее и наименьшее значение функции.

Нахождение критических точек

Критические точки функции f(x) - это точки, где производная функции равна нулю или не существует. Мы можем найти критические точки, приравняв производную функции f'(x) к нулю и решив полученное уравнение.

Для функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10, найдем производную: f'(x) = 3x^2 - 6x - 9

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: 3x^2 - 6x - 9 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, завершая квадрат или используя квадратное уравнение. Однако, в данном случае, это квадратное уравнение имеет два комплексных корня. Поэтому мы можем использовать другой метод для нахождения критических точек.

Использование второй производной

Мы можем использовать вторую производную для определения экстремумов функции. Если вторая производная положительна, то у нас есть локальный минимум. Если вторая производная отрицательна, то у нас есть локальный максимум.

Для функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10, найдем вторую производную: f''(x) = 6x - 6

Теперь мы можем решить неравенство f''(x) > 0, чтобы найти интервалы, на которых функция имеет локальный минимум, и f''(x) < 0, чтобы найти интервалы, на которых функция имеет локальный максимум.

f''(x) > 0: 6x - 6 > 0 x > 1

f''(x) < 0: 6x - 6 < 0 x < 1

Итак, у нас есть два интервала: (-∞, 1) и (1, +∞).

Определение наибольшего и наименьшего значения

Теперь мы можем использовать полученную информацию для определения наибольшего и наименьшего значения функции на интервале [-2; 4].

1. Подставим граничные значения интервала в функцию f(x): f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 10 = -4 f(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 9(4) + 10 = 18

2. Подставим значения критических точек в функцию f(x): f(1) = 1^3 - 3(1)^2 - 9(1) + 10 = -1

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на интервале [-2; 4] равно -4, а наибольшее значение равно 18.