Question

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы f (x) = 2x – ln x

Answer 1

f(x) = 2x – ln x

ОДЗ: х>0

f'(x) = 2 – 1/x

f'(x) = 0

2 – 1/x = 0

2х = 1

х = 0,5

разбиваем область определения функции f(x) на интервалы и определяем знак производной f'(x) в этих интервалах

       -                    +

0 ---------- 0,5 -------------

f'(0,25) = 2-1/0,25 = 2-4 = -2   f'(x)<0   ⇒  f(x)  убывает

f'(1) = 2-1/1 = 2-1 = 1   f'(x)>0   ⇒  f(x)  возрастает

Итак, при х∈(0; 0,5]  f(x)  убывает

         при х ∈[ 0,5; +∞) f(x) возрастает

В точке х = 0,5 производная меняет знак с - на + , следовательно, это точка минимума.

уmin = у(0,5) = 2·0,5 – ln 0,5 ≈ 1 - 0,693 ≈ 0,307

 

 

 

Answer 2

$\\f(x)=2x-\ln x\\ x>0\\ f'(x)=2-\frac{1}{x}\\ 2-\frac{1}{x}=0\\ \frac{1}{x}=2\\ 2x=1\\ x=\frac{1}{2}$

 

при x∈(0,1/2) f'(x)<0 ⇒ функция убывает

при x∈(1/2,∞) f'(x)>0 ⇒ функция возрастает

в точке 1/2 находится минимум

 

$\\f_{min}(x)=2\cdot\frac{1}{2}-\ln \frac{1}{2}\\ f_{min}(x)=1-(\ln 1-\ln2)\\ f_{min}(x)=1-(-\ln2)\\ f_{min}(x)=1+\ln2$

Answer 3

Данная функция f(x) = 2x – ln(x) представляет собой линейную функцию 2x и логарифмическую функцию –ln(x). Давайте исследуем данную функцию на возрастание (убывание) и нахождение экстремумов.

Исследование на возрастание и убывание

Для того чтобы исследовать функцию на возрастание и убывание, мы должны найти её производную и выяснить знак этой производной.

Производная функции f(x) = 2x – ln(x) вычисляется следующим образом: f'(x) = 2 - (1/x)

Теперь мы можем проанализировать знак производной в различных интервалах.

1. Найдем точки, где производная равна нулю: 2 - (1/x) = 0 2 = 1/x x = 1/2

2. Интервалы, которые образуются вокруг найденной точки: - Берем x < 1/2: в этом случае производная положительна (так как 1/x меньше 2), следовательно функция возрастает на этом интервале. - Берем x > 1/2: в этом случае производная отрицательна, следовательно функция убывает на этом интервале.

Поиск экстремумов

Таким образом, мы определили, что функция возрастает на интервале x < 1/2 и убывает на интервале x > 1/2. Это значит, что функция имеет локальный минимум в точке x = 1/2.

Выводы

Исследовав функцию f(x) = 2x – ln(x) на возрастание, убывание и нахождение экстремумов, мы можем сделать следующие выводы: - Функция возрастает на интервале x < 1/2. - Функция убывает на интервале x > 1/2. - Функция имеет локальный минимум в точке x = 1/2.