Question

Помогите пожалуйста срочно очень нужноНайти точки минимума и максимума функций:1.f(x)= 1+ 3x - \frac{ x^{3} }{3} - \frac{ x^{3} }{4}2.f(x) = 16x^{3} - 15 x^{2} - 18x + 63.f(x) = sinx + x4.f(x) = x + 2cosx

Answer 1

1) $f(x) = 1+3x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^3}{4} = 1+3x-\frac{7}{12}x^3$

$f'(x) = 3-\frac{7}{12}3x^2 = -\frac{7}{4}x^2+3$ 

$\frac{7}{4}x^2 = 3$ 

$x = +/-\sqrt{\frac{12}{7}}$ 

       -              +          - 

--------------'-------'----------> 

      -sqrt{12/7)    sqrt(12/7)

Таким образом, x = -sqrt(12/7) - точка минимума,

x = sqrt(12/7) - точка максимума

 

2) $f(x) = 16x^3-15x^2-18x+6$ 

$f'(x) = 16*3x^2-15*2x - 18 = 48x^2-30x-18$ 

48x^2+30x-18=0

D = 4356

$x = \frac{30+/-66}{96}$ 

x=1

x =-3/8

  +            -              + 

---------'-----------'-----------> 

       -3/8          1                

x = -3/8 - точка максимума

x = 1 - точка минимума

 

3) f(x) = sinx+x

f'(x) = cosx+1

Для любого х знак производной есть плюс и не меняется, т.к. |cosx|<=1

Значит f(x) монотонно возрастает на промежутке [0;2Pi] 

4) f(x) = x + 2cosx

f'(x) = 1-2sinx

2sinx  = 1

x = Pi/6 + Pik, k - целое

    +        -                +

-'-----'----------'--------------' 

0     Pi/6      7Pi/6        2Pi

x = Pi/6 - точка максимума

x = 7Pi/6 - точка минимума 

Answer 2

Поиск точек минимума и максимума функций

Для нахождения точек минимума и максимума каждой из функций, мы можем использовать производные функций. Производная функции равна нулю в точках экстремума (минимума или максимума). Также, если вторая производная положительна в точке, то это точка минимума, и если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Давайте начнем с каждой функции по очереди.

1. \( f(x) = 1 + 3x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{4} \)

Сначала найдем первую и вторую производные.

Нахождение первой производной:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (1 + 3x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{4}) \]

\[ f'(x) = 3 - x^2 - \frac{3x^2}{4} \]

Нахождение второй производной:

\[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (3 - x^2 - \frac{3x^2}{4}) \]

\[ f''(x) = -2x - \frac{3x}{2} \]

Теперь найдем точки, где производная равна нулю (экстремумы), и определим их тип (минимум или максимум) с помощью второй производной.

2. \( f(x) = 16x^{3} - 15 + x^{2} - 18x + 6 \)

Нахождение первой производной:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (16x^{3} - 15 + x^{2} - 18x + 6) \]

\[ f'(x) = 48x^2 + 2x - 18 \]

Нахождение второй производной:

\[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (48x^2 + 2x - 18) \]

\[ f''(x) = 96x + 2 \]

3. \( f(x) = sinx + x \)

Нахождение первой производной:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (sinx + x) \]

\[ f'(x) = cosx + 1 \]

Нахождение второй производной:

\[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (cosx + 1) \]

\[ f''(x) = -sinx \]

4. \( f(x) = x + 2cosx \)

Нахождение первой производной:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x + 2cosx) \]

\[ f'(x) = 1 - 2sinx \]

Нахождение второй производной:

\[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (1 - 2sinx) \]

\[ f''(x) = -2cosx \]

Теперь, имея производные функций, мы можем найти точки минимума и максимума, где производная равна нулю, и определить их тип, используя вторую производную.