Question

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: а) (n+1)^2 - (n-1)^2 делится на 4 б)x(x+3)^2 - (2n-1)^2 делится на 8 в)(3n+1)^2 - (3n - 1)^2 делится на 12 г) (5n+1)^2 - (2n-1)^2 делится на .

Answer 1

а) [(n+1)^2 - (n-1)^2] /4=(n+1-n+1)(n+1+n-1)/4=2*2n/4=4n/4=n
б)дан с ошибкой
в)[(3n+1)^2 - (3n - 1)^2 ]/12=(3n+1-3n+1)(3n+1+3n-1)/12=2*6n/12=12n/12=n
г)(5n+1)^2 - (2n-1)^2=(5n+1-2n+1)(5n+1+2n-1)=(3n+2)*3n
делится на 3

Answer 2

Для доказательства того, что данные выражения делятся на указанные числа, мы можем использовать метод математической индукции. Давайте рассмотрим каждое выражение по очереди и покажем, что оно действительно делится на соответствующее число.

Доказательство для выражения (a): (n+1)^2 - (n-1)^2 делится на 4

Для начала, раскроем скобки в выражении (n+1)^2 - (n-1)^2:

(n+1)^2 - (n-1)^2 = n^2 + 2n + 1 - (n^2 - 2n + 1) = n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1 = 4n

Мы видим, что выражение 4n делится на 4, так как 4n можно представить в виде 4 * n, где n - целое число. Таким образом, можно сделать вывод, что (n+1)^2 - (n-1)^2 делится на 4 для любого натурального n.

Доказательство для выражения (б): x(x+3)^2 - (2n-1)^2 делится на 8

Раскроем скобки в выражении x(x+3)^2 - (2n-1)^2:

x(x+3)^2 - (2n-1)^2 = x(x^2 + 6x + 9) - (4n^2 - 4n + 1) = x^3 + 6x^2 + 9x - (4n^2 - 4n + 1)

Для простоты давайте предположим, что выражение x(x^2 + 6x + 9) - (4n^2 - 4n + 1) делится на 8 при любых значениях x и n.

Проверим, что это предположение верно для x = 0 и x = 1:

Для x = 0: 0(0^2 + 6 * 0 + 9) - (4n^2 - 4n + 1) = - (4n^2 - 4n + 1) = -4n^2 + 4n - 1

Для x = 1: 1(1^2 + 6 * 1 + 9) - (4n^2 - 4n + 1) = 16 - (4n^2 - 4n + 1) = 17 - 4n^2 + 4n

Мы видим, что в обоих случаях результат выражения не делится на 8. Таким образом, предположение о том, что x(x^2 + 6x + 9) - (4n^2 - 4n + 1) делится на 8, неверно.

Доказательство для выражения (в): (3n+1)^2 - (3n - 1)^2 делится на 12

Раскроем скобки в выражении (3n+1)^2 - (3n - 1)^2:

(3n+1)^2 - (3n - 1)^2 = 9n^2 + 6n + 1 - (9n^2 - 6n + 1) = 9n^2 + 6n + 1 - 9n^2 + 6n - 1 = 12n

Мы видим, что выражение 12n делится на 12, так как 12n можно представить в виде 12 * n, где n - целое число. Таким образом, можно сделать вывод, что (3n+1)^2 - (3n - 1)^2 делится на 12 для любого натурального n.

Доказательство для выражения (г): (5n+1)^2 - (2n-1)^2 делится на 6

Раскроем скобки в выражении (5n+1)^2 - (2n-1)^2:

(5n+1)^2 - (2n - 1)^2 = 25n^2 + 10n + 1 - (4n^2 - 4n + 1) = 25n^2 + 10n + 1 - 4n^2 + 4n - 1 = 21n^2 + 14n

Мы видим, что выражение 21n^2 + 14n можно представить в виде 6 * (3n^2 + 2n), где n - целое число. Таким образом, можно сделать вывод, что (5n+1)^2 - (2n-1)^2 делится на 6 для любого натурального n.

Выводы

Мы доказали, что выражение (n+1)^2 - (n-1)^2 делится на 4 для любого натурального n. Также мы доказали, что выражение (3n+1)^2 - (3n - 1)^2 делится на 12, а выражение (5n+1)^2 - (2n-1)^2 делится на 6 для любого натурального n. Однако, выражение x(x+3)^2 - (2n-1)^2 не обязательно делится на 8 для любых значений x и n.