Question

Представьте многочлен в виде произведения : a^4+3a^3-a-3

Answer 1

$a^4+3a^3-(a+3)=a^3(a+3)-(a+3)=\\(a+3)(a^3-1)=(a+3)(a-1)(a^2+a+1)$

Answer 2

= ( a^4 - a ) + ( 3a^3 - 3 ) = a( a^3 - 1 ) + 3( a^3 - 1 ) = ( a^3 - 1 )( a + 3 ) = ( а - 1 )( а^2 + а + 1 )( а + 3 )

Answer 3

Для представления многочлена в виде произведения мы можем использовать теорему о рациональных корнях (теорему Безу). Согласно этой теореме, если многочлен имеет рациональный корень, то этот корень должен быть делителем свободного члена.

В данном случае, свободный член равен -3. Поэтому мы можем проверить, являются ли рациональными корнями многочлена все возможные делители -3 (±1, ±3).

Для проверки можно использовать метод подстановки. Подставим каждое из этих значений в многочлен и проверим, равно ли оно нулю. Если значение равно нулю, то мы нашли рациональный корень.

Подставим a = 1:

(1)^4 + 3(1)^3 - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0

Таким образом, a = 1 является рациональным корнем многочлена.

Теперь, используя теорему деления многочлена, мы можем поделить исходный многочлен на (a - 1) с использованием синтетического деления:

    1 | 1   3  -1  -3
       -    1   4   3
       ______________
        1   4   3   0

Полученный квадратный трехчлен 1a^2 + 4a + 3 можно далее разложить на произведение двух линейных многочленов:

1a^2 + 4a + 3 = (a + 1)(a + 3)

Таким образом, исходный многочлен a^4 + 3a^3 - a - 3 можно представить в виде произведения:

a^4 + 3a^3 - a - 3 = (a - 1)(a + 1)(a + 1)(a + 3)