Question

Найти первообразную G(x): g(x)=(х/2+4)^3. Вычислить интеграл: 3pi~5pi/3 cos0,5dx

Answer 1

$1)\; \; g(x)=(\frac{x}{2}+4)^3\\\\G(x)=\int (\frac{x}{2}+4)^3dx=\frac{1}{1/2}\cdot \frac{(\frac{x}{2}+4)^4}{4}+C=\frac{1}{2}\cdot (\frac{x}{2}+4)^4+C\\\\2)\; \; \int _{\frac{5\pi}{3}}^{3\pi }\; cos\, 0,5x\, dx= \frac{1}{0,5} \cdot sin0,5x|_{\frac{5\pi}{3}}^{3\pi}=2(cos\frac{3\pi}{2}-cos\frac{5\pi}{6})=\\\\=2\cdot (0+\frac{\sqrt3}{2})=\sqrt3$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции g(x) = (x/2 + 4)^3 нам потребуется использовать метод интегрирования по частям. Формула для интегрирования по частям:

∫ u * dv = u * v - ∫ v * du,

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

Давайте разобьем нашу функцию на два множителя, чтобы применить метод интегрирования по частям:

g(x) = (x/2 + 4)^3 = u * v,

где u = (x/2 + 4)^2 и dv = (x/2 + 4) dx.

Теперь давайте найдем du и v, взяв производные от u и интегрируя dv:

du = d/dx[(x/2 + 4)^2] dx = 2(x/2 + 4)(1/2) dx = (x/2 + 4) dx,

v = ∫(x/2 + 4) dx = ∫(x/2) dx + ∫4 dx = (1/2)∫x dx + 4∫1 dx = (1/2)(x^2/2) + 4x + C = x^2/4 + 4x + C.

Теперь мы готовы применить формулу интегрирования по частям:

∫ g(x) dx = ∫ u * v dx = u * v - ∫ v * du.

Подставляем значения u, v, du и интегрируем:

∫ g(x) dx = (x/2 + 4)^2 * (x^2/4 + 4x) - ∫ (x^2/4 + 4x) * (x/2 + 4) dx.

Раскрываем скобки и упрощаем:

∫ g(x) dx = (1/4)(x^2 + 8x + 16)(x^2/4 + 4x) - ∫ (1/2)(x^3/4 + 4x^2 + 4x^2 + 16x) dx.

∫ g(x) dx = (1/4)(x^2 + 8x + 16)(x^2/4 + 4x) - (1/2)(x^4/16 + 8x^3/3 + 8x^3/3 + 8x^2) + C.

Упрощаем и объединяем подобные слагаемые:

∫ g(x) dx = (1/16)(x^4 + 8x^3 + 16x^2)(1/4x + 4) - (1/2)(1/16)(x^4 + 16x^3 + 16x^2) + C.

∫ g(x) dx = (1/64)(x^4 + 8x^3 + 16x^2)(4x + 16) - (1/32)(x^4 + 16x^3 + 16x^2) + C.

Таким образом, первообразная функции g(x) = (x/2 + 4)^3 равна:

G(x) = (1/64)(x^4 + 8x^3 + 16x^2)(4x + 16) - (1/32)(x^4 + 16x^3 + 16x^2) + C.

Теперь давайте решим вторую часть вашего вопроса и вычислим интеграл:

∫[3π, 5π/3] cos(0.5x) dx.

Интегрируя функцию cos(0.5x), получаем:

∫[3π, 5π/3] cos(0.5x) dx = (2/0.5) sin(0.5x) ∣[3π, 5π/3] = 4(sin(0.5(5π/3)) - sin(0.5(3π))).

Вычисляя значение, получаем:

∫[3π, 5π/3] cos(0.5x) dx = 4(sin(5π/6) - sin(3π/2)) = 4(0.5 - (-1)) = 4(1.5) = 6.

Таким образом, значение интеграла ∫[3π, 5π/3] cos(0.5x) dx равно 6.