Question

Вычислите интеграл , опираясь на его геометрический смысл. Задание средней степени сложности, 11 клас. Формулу Ньютона-Лейбница использовать нельзя!!!

Answer 1

На графике мы видим выделенную область - сектор, площадь которой и нужно найти. Сначала найти общую площадь окружности с началом координат в точке (0;0) и центром 5.

S = pi *R^2 = 3,14*25 = 78,53

Теперь поделим S на 4, так как нам нужно узнать, сколько же составляет 1 четверть. S/4 = 19,63

Следовательно, ответ 19,63

Answer 2

Приложен график.
это полуокружность радиусом 5 с центром в начале координат.
∫√(25-х²)dx в пределах от 0 до 5 - площадь полуокружности и равен
πR²/2=π*25/2=12,5π

Answer 3

Интеграл представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми. Для вычисления интеграла можно разбить область под графиком функции на бесконечно малые прямоугольники и сложить их площади.

Для примера, рассмотрим интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b]: ∫[a, b] f(x) dx. Мы можем разбить область под графиком функции на бесконечно малые прямоугольники шириной dx и высотой f(x). Затем сложим площади всех прямоугольников, чтобы получить значение интеграла.

Если функция положительна на отрезке [a, b], то интеграл будет представлять собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b.

Если функция меняет знак на отрезке [a, b], то интеграл будет представлять собой разность площадей фигур, образованных графиком функции, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b.

Таким образом, геометрический смысл интеграла заключается в вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции и осями координат.