Question

Найдите наименьшее значение функции y=(x³/3)-36x+7 на отрезке [5;8]

Answer 1

Y ' =x²-36

x² -36=0
(x-6)(x+6)=0
x=6     x= -6 - не входит в [5; 8]

y(5)=(5³/3) -36*5 +7=(125/3) - 180 + 7= -394/3= - 131 ¹/₃
y(6)=(6³/3) -36*6 +7=(216/3) -  216 + 7=-411/3= - 137 - наименьшее
y(8)=(8³/3) -36*8+7=(512/3) - 288+7= -331/3 = - 110 ¹/₃

Ответ: -137.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = (x³/3) - 36x + 7 на отрезке [5;8], мы можем использовать метод нахождения экстремумов. Экстремумы функции могут быть достигнуты в точках, где её производная равна нулю или не существует. Также, необходимо проверить значения функции на концах интервала [5;8].

Давайте начнем с нахождения производной функции y по x:

y' = d/dx[(x³/3) - 36x + 7] = (1/3) * d/dx(x³) - d/dx(36x) + d/dx(7) = (1/3) * 3x² - 36 + 0 = x² - 36

Теперь найдем значения производной, равные нулю:

x² - 36 = 0

Мы можем решить это уравнение, чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю:

x² - 36 = 0 (x - 6)(x + 6) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x: x = 6 и x = -6.

Теперь мы можем проверить значения функции в найденных точках и на концах интервала [5;8]:

При x = 5: y = (5³/3) - 36 * 5 + 7 = (125/3) - 180 + 7 ≈ -32.33

При x = 6: y = (6³/3) - 36 * 6 + 7 = (216/3) - 216 + 7 = 7 - 216 + 7 = -202

При x = -6: y = ((-6)³/3) - 36 * (-6) + 7 = (-216/3) + 216 + 7 = -72 + 216 + 7 = 151

При x = 8: y = (8³/3) - 36 * 8 + 7 = (512/3) - 288 + 7 ≈ -41.33

Таким образом, наименьшее значение функции y на отрезке [5;8] равно -202 и достигается при x = 6.