Question

Найдите экстремума функции f(x) = x^3- 5x^4+3

Answer 1

F`(x)=3x²-20x³=x²(3-20x)=0
x=0  x=3/20
                  +               +                  _
--------------------(0)--------------(3/20)------------------
                                               max

Answer 2

Для того чтобы найти экстремумы функции f(x) = x^3 - 5x^4 + 3, мы должны найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками.

Нахождение производной функции

Давайте начнем с нахождения производной функции f(x). Производная функции f(x) показывает, как функция меняется по мере изменения значения x.

f(x) = x^3 - 5x^4 + 3

Чтобы найти производную этой функции, мы применим правила дифференцирования к каждому члену функции. Для каждого слагаемого в функции применяется правило степенной функции и правило суммы.

f'(x) = 3x^2 - 20x^3

Нахождение критических точек

Теперь, чтобы найти критические точки, мы должны решить уравнение f'(x) = 0.

3x^2 - 20x^3 = 0

Мы можем факторизовать это уравнение:

x^2(3 - 20x) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения x:

1. x = 0 2. 3 - 20x = 0

Решая второе уравнение, мы получаем:

3 - 20x = 0 20x = 3 x = 3/20

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 3/20.

Определение экстремумов

Чтобы определить, является ли каждая критическая точка экстремумом, мы можем использовать вторую производную тест. Если вторая производная положительна в точке, то это точка минимума, а если она отрицательна, то это точка максимума. Если вторая производная равна нулю или не существует, тест не дает определенного результата и требуется дополнительный анализ.

Давайте найдем вторую производную f''(x) функции f(x):

f''(x) = 6x - 60x^2

Применение второй производной теста

Теперь мы можем применить вторую производную теста, подставив значения x = 0 и x = 3/20 в f''(x).

1. При x = 0: f''(0) = 6(0) - 60(0)^2 = 0 Так как вторая производная равна нулю, тест не дает определенного результата.

2. При x = 3/20: f''(3/20) = 6(3/20) - 60(3/20)^2 = 3/10 - 9/20 = 3/20 Так как вторая производная положительна, это указывает на точку минимума.

Ответ

Итак, у функции f(x) = x^3 - 5x^4 + 3 есть одна точка экстремума: - Точка минимума при x = 3/20.

Пожалуйста, обратите внимание, что моя задача - помочь вам понять математические концепции и предоставить решение вашей задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!