Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2 - 2x + 2, y=2 + 6x - x^2

Answer 1

Смотреть во вложении

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, нужно найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения друг к другу:

x^2 - 2x + 2 = 2 + 6x - x^2

2x^2 - 8x = 0

2x(x - 4) = 0

x = 0 и x = 4

Подставим найденные значения x обратно в уравнения, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x = 0: y = 2 + 6*0 - 0^2 = 2

Для x = 4: y = 2 + 6*4 - 4^2 = 2 + 24 - 16 = 10

Теперь мы имеем две точки пересечения: (0, 2) и (4, 10). Это позволяет нам построить график и найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

Площадь фигуры можно найти как разность интегралов этих функций на заданном интервале. Интеграл функции y=x^2 - 2x + 2 будет равен интегралу функции y=2 + 6x - x^2 на интервале от x=0 до x=4.

S = ∫[0,4] (2 + 6x - x^2 - (x^2 - 2x + 2)) dx = ∫[0,4] (2 + 6x - x^2 - x^2 + 2x - 2) dx = ∫[0,4] (8x - 2) dx = 4x^2 - 2x |[0,4] = (4*4^2 - 2*4) - (4*0^2 - 2*0) = (64 - 8) - (0 - 0) = 56

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 - 2x + 2 и y=2 + 6x - x^2, равна 56 квадратным единицам.