Question

Отношение четвёртого члена убывающей арифметической прогрессии к Ее первому члену равно 7, а произведение шестого и третьего членов прогрессии равно 220. Найдите первый член данной арифметической прогрессии. Сумма бесконечно малой геометрической прогрессии равна 280, а первый член прогрессии равен 210. Найдите знаменатель и третий член данной прогрессии

Answer 1

1. Из условия нам ясно, что a(4)/a(1)=7 и a(6)*a(3)=220.
Мы знаем, что формула n-члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом: a(n)=a(1)+(n-1)*d. Воспользовавшись этим можем составить следующие соотношения:
$\frac{a(1)+3*d}{a(1)}$=7
и 
(a(1)+5*d)*(a1+2d)=220
У нас получается система из двух уравнений.
Решаем её.
Получаем, что a(1)=2 или a(1)=-2, d=2a но так как прогрессия убывает, то подходит a(1)=-2
ОТВЕТ: -2

2.
 По формуле бесконечной геометрической прогрессии, S=b1/(1-q)
280=210/(1-q)
q=0,25
b(3)= 210*0,25^2=13,125
ОТВЕТ: q=0,25, b(3)=13,125

Answer 2

Дано: Отношение четвёртого члена убывающей арифметической прогрессии к её первому члену равно 7. Произведение шестого и третьего членов прогрессии равно 220.

1. Найдём разность (d) и первый член (a) арифметической прогрессии: Отношение четвёртого члена к первому члену равно 7, поэтому: a + 3d = 7a 3d = 6a d = 2a

2. Найдём шестой член (a6) и третий член (a3) прогрессии: Произведение шестого и третьего членов равно 220, поэтому: a3 * a6 = 220 (a + 2d) * (a + 5d) = 220 (a + 2(2a)) * (a + 5(2a)) = 220 (5a) * (11a) = 220 55a^2 = 220 a^2 = 4 a = ±2

3. Найдём первый член (a) прогрессии: Из предыдущего пункта, a = ±2. Однако, в условии сказано, что сумма бесконечно малой геометрической прогрессии равна 280 и первый член прогрессии равен 210. Так как геометрическая прогрессия имеет ненулевой знаменатель, выберем положительное значение a = 2.

Таким образом: Первый член данной арифметической прогрессии равен 2.

Теперь перейдём ко второй части вопроса:

Сумма бесконечно малой геометрической прогрессии равна 280, а первый член прогрессии равен 210.

1. Найдём знаменатель (q) прогрессии: Используем формулу суммы бесконечно малой геометрической прогрессии: S = a / (1 - q) 280 = 210 / (1 - q) 280(1 - q) = 210 280 - 280q = 210 280q = 280 - 210 280q = 70 q = 70 / 280 q = 0.25

2. Найдём третий член (a3) прогрессии: Используем формулу общего члена геометрической прогрессии: a3 = a * q^(3-1) a3 = 210 * 0.25^2 a3 = 210 * 0.0625 a3 = 13.125

Таким образом: Знаменатель данной прогрессии равен 0.25. Третий член данной прогрессии равен 13.125.