Question

224. Доведіть, що при будь-яких значеннях змінних даний вираз набуває невід'ємного значення: 1) (a - 5)2 – 2 (а - 5) + 1; 2) (a - b) (a – b – 8) + 16.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Будемо використовувати формули скороченного множення a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 та а^2 - b^2 = (a-b)(a+b). Тодi маємо

1) (а - 5)^2 - 2(a-5) + 1 = (a-5-1)^2 = (a-6)^2, а квадрат не буває від'ємним

2) (a-b)(a-b-8) + 16 = (a-b-4)^2 - 4^2 + 16 = (a-b-4)^2, квадрат не буває від'ємним

Answer 2

Для даного виразу, ми можемо розглянути кожну частину окремо і довести, що вона набуває невід'ємного значення.

Частина 1: (1)+(a - 5)^2

Перша частина виразу складається з суми числа 1 та квадрату виразу (a - 5). Квадрат числа завжди буде невід'ємним, оскільки він представляє собою добуток числа на себе. Також, додавання невід'ємного числа до 1 не змінює його знаку. Тому, ця частина виразу завжди набуває невід'ємного значення.

Частина 2: -2*(a - 5) + 1

Друга частина виразу складається з різниці чисел -2*(a - 5) та 1. Вираз -2*(a - 5) представляє собою добуток -2 на вираз (a - 5). З врахуванням того, що вираз (a - 5) може мати будь-яке значення, ми можемо зробити наступні спостереження:

- Якщо (a - 5) > 0, то -2*(a - 5) буде від'ємним числом, оскільки множник -2 змінює знак на протилежний. Проте, додавання 1 до від'ємного числа дозволяє отримати невід'ємне значення. Таким чином, в цьому випадку, друга частина виразу набуває невід'ємного значення.

- Якщо (a - 5) = 0, то -2*(a - 5) буде рівним 0, оскільки будь-яке число помножене на 0 дорівнює 0. Додавання 1 до нуля також дає невід'ємне значення. Тому, в цьому випадку, друга частина виразу набуває невід'ємного значення.

- Якщо (a - 5) < 0, то -2*(a - 5) буде додатнім числом, оскільки множник -2 не змінює знаку. Додавання 1 до додатнього числа також дає невід'ємне значення. Таким чином, в цьому випадку, друга частина виразу набуває невід'ємного значення.

Частина 3: (2) + (a - b) + (a – b – 8) + 16

Третя частина виразу складається з суми чисел (2), (a - b), (a - b - 8) та 16. Додавання невід'ємних чисел завжди дає невід'ємне значення. Оскільки (a - b) може мати будь-яке значення, ми можемо розглянути наступні випадки:

- Якщо (a - b) > 8, то (a - b - 8) буде більше нуля і додавання його до суми не змінить знаку. Таким чином, третя частина виразу набуває невід'ємного значення.

- Якщо (a - b) = 8, то (a - b - 8) буде рівним нулю. Додавання 16 до нуля також дає невід'ємне значення. Тому, в цьому випадку, третя частина виразу набуває невід'ємного значення.

- Якщо (a - b) < 8, то (a - b - 8) буде від'ємним числом. Проте, додавання від'ємного числа до суми дає невід'ємне значення. Таким чином, в цьому випадку, третя частина виразу набуває невід'ємного значення.

Висновок:

Отже, розглянувши всі частини виразу окремо, ми бачимо, що кожна з них набуває невід'ємного значення. Тому, при будь-яких значеннях змінних вираз завжди набуває невід'ємного значення.