Question

Исследовать функцию y(x)=x4−1 на монотонность и экстремумы. +чертеж. СРОЧНО даю 60 баллов

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=x^4 -1

y'=4x^3,  x^3=0,  x=0 -точка  экстремума   - - - -- - - - [0] + + + + + +y'

на (-Б;0]  функция убывает,  на  [0;+Б)  - возрастает  (Б- бесконечность),

х=0 - точка min,(  график - как парабола  y=x^2),  ветви вверх,

пройдет через точки    (0;-1) -вершина, далее  (1;0),  (-1;0),  (2;15),  (-2; 15)

Answer 2

Исследование функции y(x) = x^4 - 1 на монотонность и экстремумы

Для исследования функции y(x) = x^4 - 1 на монотонность и экстремумы, мы можем проанализировать ее производную и вторую производную.

Производная функции:

Для определения монотонности функции, мы можем проанализировать знак ее производной. Если производная положительна на всем интервале, то функция монотонно возрастает. Если производная отрицательна на всем интервале, то функция монотонно убывает. Если производная меняет знак, то функция имеет экстремумы.

Давайте найдем производную функции y(x):

y'(x) = 4x^3

Вторая производная функции:

Для определения экстремумов функции, мы можем проанализировать знак ее второй производной. Если вторая производная положительна, то функция имеет локальный минимум. Если вторая производная отрицательна, то функция имеет локальный максимум.

Давайте найдем вторую производную функции y(x):

y''(x) = 12x^2

Анализ производной и второй производной:

1. Производная функции y(x) = x^4 - 1 равна y'(x) = 4x^3. 2. Вторая производная функции y(x) равна y''(x) = 12x^2.

Теперь мы можем проанализировать знаки производной и второй производной, чтобы определить монотонность и экстремумы функции.

Монотонность функции:

- Производная функции y'(x) = 4x^3 положительна, когда x > 0, и отрицательна, когда x < 0. Это означает, что функция y(x) монотонно возрастает на интервале (0, +∞) и монотонно убывает на интервале (-∞, 0).

Экстремумы функции:

- Вторая производная функции y''(x) = 12x^2 положительна на всем интервале, кроме x = 0. Это означает, что функция y(x) имеет локальный минимум в точке x = 0.

Чертеж функции y(x) = x^4 - 1

Теперь давайте построим график функции y(x) = x^4 - 1, чтобы визуально представить ее монотонность и экстремумы.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = x**4 - 1

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y(x) = x^4 - 1')
plt.grid(True)
plt.show()

График функции y(x) = x^4 - 1 будет выглядеть следующим образом:


Вывод

Функция y(x) = x^4 - 1 монотонно возрастает на интервале (0, +∞) и монотонно убывает на интервале (-∞, 0). Она имеет локальный минимум в точке x = 0.