Question

Помогите решить. Вычислить площадь фигуры ,ограниченной заданными линиями y=4x^2+4 ,x=-4,x=4,y=0

Answer 1

∫(4х² +4)dx =( 4x³/3 + 4x)| в пределах от -4 до 4 = 
=4 * 64/3 + 16 -( -4*64/3 - 16) = 256/3 +16 +256/3 +16= 608/3 = 202 2/3

Answer 2

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, можно воспользоваться методом интегрирования.

1. Определение области: Первым шагом определим, какая часть плоскости ограничена заданными линиями. Уравнение \( y = 4x^2 + 4 \) представляет параболу, а уравнения \( x = -4 \) и \( x = 4 \) представляют вертикальные линии. Таким образом, фигура ограничена параболой \( y = 4x^2 + 4 \), вертикальными линиями \( x = -4 \) и \( x = 4 \) и осью x.

2. Вычисление площади: Площадь фигуры можно найти с помощью определенного интеграла. Для этой задачи, мы можем использовать интеграл от \( y = 4x^2 + 4 \) до \( y = 0 \) по оси x.

Итак, площадь фигуры \( S \) можно найти по следующей формуле: \[ S = \int_{-4}^{4} (4x^2 + 4 - 0) \,dx \]

3. Вычисление интеграла: Проведем вычисления интеграла: \[ S = \int_{-4}^{4} (4x^2 + 4) \,dx = \left[ \frac{4x^3}{3} + 4x \right]_{-4}^{4} \] \[ S = \left( \frac{4(4)^3}{3} + 4*4 \right) - \left( \frac{4(-4)^3}{3} + 4*(-4) \right) \] \[ S = \left( \frac{256}{3} + 16 \right) - \left( -\frac{256}{3} - 16 \right) \] \[ S = \frac{256}{3} + 16 + \frac{256}{3} + 16 \] \[ S = \frac{512}{3} + 32 \]

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями \( y = 4x^2 + 4 \), \( x = -4 \), \( x = 4 \) и \( y = 0 \), равна \( \frac{512}{3} + 32 \), что можно оставить в виде десятичной дроби или приближенно выразить в виде десятичной формы.