Question

1) tg(x+2)=0; 2) 2ctg² x + 3ctg x - 2=0; 3)1+ctg4x=0.

Answer 1

$1)~ tg(x+2)=0;\\ \\ x+2= \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ x=-2+ \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ 2)~ 2ctg^2x+3ctgx-2=0$

Решим это уравнение как квадратное уравнение относительно ctg x:

$D=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25$

$ctgx= \dfrac{-3+5}{2\cdot2} =0.5;~~~\Rightarrow~~~~ x_1=arcctg0.5+ \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ ctgx= \dfrac{-3-5}{2\cdot2} =-2;~~~\Rightarrow~~~~ x_2= \pi -arcctg(2)+ \pi n,n \in \mathbb{Z}$

$1+ctg4x=0\\ \\ ctg4x=-1\\ \\ 4x= \dfrac{3 \pi }{4} + \pi n,n \in \mathbb{Z}~~~|:4\\ \\ x=\dfrac{3 \pi }{16}+ \dfrac{\pi n}{4},n \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Уравнение 1: tg(x+2) = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать свойства тригонометрии и алгебры. Начнем с того, что рассмотрим уравнение tg(x+2) = 0.

Тангенс является тригонометрической функцией, которая равна отношению противолежащего катета к прилежащему катету в треугольнике. Также, тангенс может быть представлен в виде синуса, деленного на косинус.

Исходя из этого, мы можем записать уравнение tg(x+2) = 0 в виде sin(x+2)/cos(x+2) = 0.

Поскольку sin(x+2) в знаменателе не может быть равным нулю (потому что sin(x+2) не может быть равным нулю в любой точке), мы можем исключить этот случай.

Теперь мы можем записать уравнение в виде sin(x+2) = 0.

Синус равен нулю в нескольких точках на окружности, а именно в точках, где x + 2 равно кратным значениям pi (то есть x + 2 = n*pi, где n - целое число).

Таким образом, мы можем записать решение уравнения в виде x = n*pi - 2, где n - целое число. Это означает, что x может принимать любое значение, которое можно получить, подставив различные значения n в это уравнение.

Уравнение 2: 2ctg²(x) + 3ctg(x) - 2 = 0

Рассмотрим уравнение 2: 2ctg²(x) + 3ctg(x) - 2 = 0.

Подобно уравнению 1, мы можем использовать свойства тригонометрии и алгебры для его решения.

Для начала, давайте заменим ctg(x) на 1/tg(x), чтобы упростить уравнение.

После замены, уравнение примет вид 2(1/tg(x))² + 3(1/tg(x)) - 2 = 0.

Теперь мы можем умножить обе части уравнения на tg²(x), чтобы избавиться от знаменателя:

2 + 3tg(x) - 2tg²(x) = 0.

Теперь давайте представим уравнение в виде квадратного уравнения относительно tg(x):

-2tg²(x) + 3tg(x) + 2 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя стандартные методы решения квадратных уравнений.

Найдем значения tg(x), используя формулу дискриминанта:

tg(x) = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = -2, b = 3 и c = 2.

Подставив значения, получим:

tg(x) = (-3 ± √(3² - 4*(-2)*2)) / (2*(-2)).

Упрощая это выражение, получим:

tg(x) = (-3 ± √(9 + 16)) / (-4).

tg(x) = (-3 ± √25) / (-4).

tg(x) = (-3 ± 5) / (-4).

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: tg(x) = (-3 + 5) / (-4) = 2 / (-4) = -1/2.

Случай 2: tg(x) = (-3 - 5) / (-4) = -8 / (-4) = 2.

Теперь мы можем найти значения x, используя функцию arctg (обратную функцию тангенсу).

x = arctg(-1/2) и x = arctg(2).

Значения x будут зависеть от диапазона арктангенса и могут быть выражены в виде x = n*pi + arctg(-1/2) и x = n*pi + arctg(2), где n - целое число.

Таким образом, уравнение имеет бесконечное количество решений, которые можно получить, подставив различные значения n в эти уравнения.

Уравнение 3: 1 + ctg(4x) = 0

Рассмотрим уравнение 3: 1 + ctg(4x) = 0.

Для начала, давайте перепишем уравнение, избавившись от 1 в левой части:

ctg(4x) = -1.

Теперь заменим ctg(4x) на 1/tg(4x), чтобы упростить уравнение:

1/tg(4x) = -1.

Мы можем поменять местами стороны уравнения, чтобы получить tg(4x) = -1.

Теперь найдем значения tg(4x), используя обратную функцию тангенса.

tg(4x) = -1.

4x = arctg(-1).

x = arctg(-1)/4.

Значение arctg(-1) равно -pi/4.

Таким образом, x = (-pi/4)/4 = -pi/16.

Ответ: x = -pi/16.