Question

2sin^2 x-3sinxcosx-10cos^2 x=0 Решение нужно срочно

Answer 1

Ответ:

$x=arctg \dfrac{3-\sqrt{89}}{4}+\pi n,\; \: \; \: n\in Z$

$x=arctg \dfrac{3+\sqrt{89}}{4}+\pi k,\; \: \; \: k\in Z$

Объяснение:

Решить тригонометрическое уравнение:

$2\sin^2x-3\sin x \cos x-10\cos^2 x=0$

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x\neq 0$:

$2\dfrac{\sin^2x}{\cos^2 x}-3\dfrac{\sin x \cos x}{\cos^2 x}-10\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=0$

$2\; tg^2 x-3\; tg x-10 =0$

$tg x=t$

$2t^2-3t-10=0$

$D=3^2+4\cdot 2\cdot 10=9+80=89$

$t_1=\dfrac{3-\sqrt{89}}{4}$

$t_2=\dfrac{3+\sqrt{89}}{4}$

1.

$tg x=\dfrac{3-\sqrt{89}}{4}$

$x=arctg \dfrac{3-\sqrt{89}}{4}+\pi n,\; \: \; \: n\in Z$

2.

$tg x=\dfrac{3+\sqrt{89}}{4}$

$x=arctg \dfrac{3+\sqrt{89}}{4}+\pi k,\; \: \; \: k\in Z$

_______________________

Возможно, в условии ошибка и перед произведением синуса на косинус нет коэффициента, тогда ответ получится красивее.

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[2\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) - 10\cos^2(x) = 0.\]

Для удобства введем обозначения: \( \sin(x) = a \) и \( \cos(x) = b \). Тогда уравнение примет вид:

\[2a^2 - 3ab - 10b^2 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно переменной \( a \):

\[2a^2 - 3ab - 10b^2 = 0.\]

Формула для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) имеет вид:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

Сравнивая с уравнением \(2a^2 - 3ab - 10b^2 = 0\), мы видим, что у нас есть \(a\), \(b\), и \(c\):

\[a = 2, \quad b = -3b, \quad c = -10.\]

Теперь можем подставить значения в формулу:

\[a = \frac{3b \pm \sqrt{(-3b)^2 - 4(2)(-10)}}{2(2)}.\]

Упрощаем:

\[a = \frac{3b \pm \sqrt{9b^2 + 80}}{4}.\]

Теперь у нас есть два случая:

1. \(a = \frac{3b + \sqrt{9b^2 + 80}}{4}\) 2. \(a = \frac{3b - \sqrt{9b^2 + 80}}{4}\)

Таким образом, получили два выражения для \(a\). Подставим их обратно в уравнения для синуса и косинуса:

1. \(\sin(x) = \frac{3\cos(x) + \sqrt{9\cos^2(x) + 80}}{4}\) 2. \(\sin(x) = \frac{3\cos(x) - \sqrt{9\cos^2(x) + 80}}{4}\)

Теперь вам нужно решить эти уравнения относительно \(x\). Учтите, что углы синуса и косинуса ограничены значениями от -1 до 1. Поэтому вы можете использовать это ограничение для дальнейшего анализа.