Question

Знайдіть площу фігури обмеженої лініями: f(x) = -x^2 + 4, y = 0

Answer 1

Ответ:

Для знаходження площі фігури обмеженої лініями, вам потрібно обчислити відповідний інтеграл.

У даному випадку, фігура обмежена лініями f(x) = -x^2 + 4 та y = 0. Щоб знайти площу цієї фігури, необхідно знайти інтервал значень x, на якому обидва обмеження перетинаються.

Спочатку знайдемо точки перетину ліній:

f(x) = -x^2 + 4 = 0

-x^2 + 4 = 0

x^2 = 4

x = ±2

Таким чином, фігура обмежена на інтервалі [-2, 2].

Тепер, щоб знайти площу, обчислимо відповідний інтеграл:

Площа = ∫[a, b] f(x) dx

Підставимо функцію f(x) = -x^2 + 4 в інтеграл та обчислимо:

Площа = ∫[-2, 2] (-x^2 + 4) dx

∫(-x^2 + 4) dx = [-1/3*x^3 + 4x] [-2, 2]

= [-1/3*(2)^3 + 4*(2)] - [-1/3*(-2)^3 + 4*(-2)]

= [-8/3 + 8] - [8/3 - 8]

= [16/3 - 8/3] - [8 - 24/3]

= 8/3 - 8/3 - 8 + 8

= -8

Отже, площа фігури обмеженої лініями f(x) = -x^2 + 4 та y = 0 становить -8 одиниць квадратних. Врахуйте, що результат від'ємний, оскільки крива f(x) знаходиться нижче вісі x у заданому інтервалі.

Answer 2

Звісно, я з радістю допоможу. Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями \( f(x) = -x^2 + 4 \) та \( y = 0 \), вам потрібно знайти точки їх перетину та підрахувати інтеграл від \( f(x) \) між цими точками.

Спершу знайдемо точки перетину. При \( y = 0 \), ми можемо записати:

\[ -x^2 + 4 = 0 \]

Розв'язавши це рівняння, отримаємо:

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = \pm 2 \]

Отже, точки перетину -2 та 2.

Тепер визначимо границі інтеграції. Між цими точками область обмежена, тобто вирахуємо інтеграл від -2 до 2:

\[ \text{Площа} = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \,dx \]

Інтегруючи це вираз, ми отримаємо площу фігури:

\[ \text{Площа} = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 4x \right]_{-2}^{2} \]

Підставимо верхню та нижню межі:

\[ \text{Площа} = \left[ -\frac{1}{3}(2)^3 + 4(2) \right] - \left[ -\frac{1}{3}(-2)^3 + 4(-2) \right] \]

\[ \text{Площа} = \left[ -\frac{1}{3}(8) + 8 \right] - \left[ -\frac{1}{3}(-8) - 8 \right] \]

\[ \text{Площа} = \left[ -\frac{8}{3} + 8 \right] - \left[ \frac{8}{3} - 8 \right] \]

\[ \text{Площа} = \left[ \frac{16}{3} \right] + \left[ \frac{16}{3} \right] \]

\[ \text{Площа} = \frac{32}{3} \]

Отже, площа фігури обмеженої лініями \( f(x) = -x^2 + 4 \) та \( y = 0 \) дорівнює \( \frac{32}{3} \) квадратних одиниць.