Question

Площадь треугольника АВС равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E при этом BD:CD=1:3. найдите площадь четырехугольника EDCK

Answer 1

Площадь треугольника АВС равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK 
----------
Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на высоту.
S Δ=ah
Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания. 
Медиана делит треугольник на два равновеликих ( т.е равных по площади) треугольника, так как их основания равны, а высота  - общая.  
S Δ ABK=S Δ BKC=80:2=40
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.⇒
 АВ:АС=1:3, т.к. BD:DC=1:3
АК=КС (ВК- медиана)
АС=2 АК  
так как АВ:АС=1:3, то
АВ:2АК=1:3  
Умножив числители отношения на 2, получим
АВ:АК=2:3 
АD - биссектриса угла А,
АЕ биссектриса и делит ВК в отношении АВ:АК
ВЕ:ЕК=2/3
Треугольники АВЕ и АЕК имеют общую высоту. 
Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания. 
Следовательно:
S ABE:S AEK=2:3
Площадь Δ АВК равна 40, АЕ делит ее в отношении 2:3.⇒
S Δ ABE=S Δ ABK:5*2=40:5*2=16
Треугольники АВD  и ADC  имеют общую высоту АН. 
Следовательно, 
S ABD:S ADC=1:3
S Δ ABD=S Δ ABC:(1+3)=80:4=20
S Δ BED=S Δ ABD-S Δ ABE=2–16=4
S KEDC=S Δ КBC - S Δ BED=40-4=36
Ответ: 36
-----
[email protected]

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство биссектрисы треугольника. Поскольку мы знаем, что BD:CD=1:3, то мы можем предположить, что точка E делит медиану BK в отношении 1:3.

Таким образом, мы можем сказать, что площадь треугольника ABD равна 1/4 от площади треугольника ABC (поскольку BD:CD=1:3, то треугольник ABD равен 1/4 от треугольника ABC). Таким образом, площадь треугольника ABD равна 20.

Теперь мы знаем, что площадь треугольника ABD равна 20, а площадь треугольника ABC равна 80. Таким образом, площадь треугольника BCD равна 60.

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника EDCK, который образован биссектрисой треугольника ABD и медианой треугольника BCD. Площадь этого четырехугольника равна сумме площадей треугольников BDE и BCE.

Так как точка E делит медиану BK в отношении 1:3, то площадь треугольника BDE равна 1/4 от площади треугольника BCD, то есть 1/4 * 60 = 15.

Аналогично, площадь треугольника BCE также равна 15.

Таким образом, площадь четырехугольника EDCK равна сумме площадей треугольников BDE и BCE, то есть 15 + 15 = 30.

Итак, площадь четырехугольника EDCK равна 30.