Question

(3x-2)(2x+1)(x-4)<0 решить неравенство

Answer 1

(7 - x) / [(3x - 2)(2x + 1)(x - 4)] < 0
Поменяем знак в числителе, чтобы х был спереди, при этом изменится знак неравенства.
(x - 7) / [(3x - 2)(2x + 1)(x - 4)] > 0
По методу интервалов имеем промежутки:
(-oo; -1/2); (-1/2; 2/3); (2/3; 4); (4; 7); (7; +oo)
Подставляем любое число, например, 3, получаем
(3 - 7) / [(3*3 - 2)(2*3 + 1)(3 - 4)] = (-4) / (7*7*(-1)) > 0
Нас не интересует результат (4/49), а только его знак (больше 0).
Значит, промежуток (2/3; 4), в который входит число 3 - подходит.
Соседние промежутки (-1/2; 2/3) и (4; 7) - не подходят
А (-oo; -1/2) и (7; +oo) - подходят.
Ответ: (-oo; -1/2) U (2/3; 4) U (7; +oo)

Answer 2

Для решения данного неравенства `(3x-2)(2x+1)(x-4) < 0` мы можем использовать метод интервалов и знаков.

1. Нахождение критических точек

Для начала, найдем критические точки, где выражение `(3x-2)(2x+1)(x-4)` равно нулю.

- Первая критическая точка: `(3x-2) = 0`. Решаем это уравнение и получаем `x = 2/3`. - Вторая критическая точка: `(2x+1) = 0`. Решаем и получаем `x = -1/2`. - Третья критическая точка: `(x-4) = 0`. Решаем и получаем `x = 4`.

2. Построение интервалов

Теперь, используя эти критические точки, разобьем ось x на интервалы:

- Интервал 1: `(-∞, -1/2)` - Интервал 2: `(-1/2, 2/3)` - Интервал 3: `(2/3, 4)` - Интервал 4: `(4, +∞)`

3. Определение знаков

В каждом интервале мы будем определять знак выражения `(3x-2)(2x+1)(x-4)` для определения, когда оно меньше нуля.

- Интервал 1: Подставляем значение `x = -1` в `(3x-2)(2x+1)(x-4)`. Получаем отрицательное значение. Знак: `-` - Интервал 2: Подставляем значение `x = 0` в `(3x-2)(2x+1)(x-4)`. Получаем положительное значение. Знак: `+` - Интервал 3: Подставляем значение `x = 3` в `(3x-2)(2x+1)(x-4)`. Получаем отрицательное значение. Знак: `-` - Интервал 4: Подставляем значение `x = 5` в `(3x-2)(2x+1)(x-4)`. Получаем положительное значение. Знак: `+`

4. Определение решений

Теперь, основываясь на знаках в каждом интервале, мы можем определить, когда выражение `(3x-2)(2x+1)(x-4)` меньше нуля.

- Интервал 1: Знак: `-`. Выражение меньше нуля на этом интервале. - Интервал 2: Знак: `+`. Выражение больше нуля на этом интервале. - Интервал 3: Знак: `-`. Выражение меньше нуля на этом интервале. - Интервал 4: Знак: `+`. Выражение больше нуля на этом интервале.

Таким образом, решением неравенства `(3x-2)(2x+1)(x-4) < 0` является интервал `(-∞, -1/2) U (2/3, 4)`. Это означает, что значения `x` в этом интервале удовлетворяют данному неравенству.