Question

Найти частное решение уравнения y"-2y'=x^2-1 удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0, y'(0)=9/4. помогите пожалуйста

Answer 1

Для решения данного уравнения мы сначала должны найти общее решение его однородной части y'' - 2y' = 0. Характеристическое уравнение будет иметь вид r^2 - 2r = 0, решив которое мы получим r1 = 0 и r2 = 2. Таким образом, общее решение однородной части будет иметь вид: yh(x) = c1 + c2*e^(2x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Для нахождения частного решения неоднородной части y'' - 2y' = x^2 - 1 можно воспользоваться методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид yp(x) = ax^2 + bx + c. Тогда y' = 2ax + b и y'' = 2a.

Подставляя yp(x) и его производные в исходное уравнение, получаем: 2a - 4ax - 2b = x^2 - 1. Коэффициенты при x^2 и x должны быть одинаковыми, поэтому:

-4a = -1 => a = 1/4

-2b = -1 => b = 1/2

Таким образом, частное решение имеет вид: yp(x) = (1/4)*x^2 + (1/2)*x + c.

Для нахождения конкретного значения постоянной c мы используем начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 9/4:

y(0) = (1/4)*0^2 + (1/2)*0 + c = 0 => c = 0

y'(0) = (1/4)*2*0 + (1/2) = 1/2

Таким образом, частное решение имеет вид: yp(x) = (1/4)*x^2 + (1/2)*x, а общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = yh(x) + yp(x) = c1 + c2*e^(2x) + (1/4)*x^2 + (1/2)*x.

Answer 2

Чтобы найти частное решение данного уравнения, можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Заметим, что данное уравнение имеет вид y" - 2y' = x^2 - 1.

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y" - 2y' = 0. Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид r^2 - 2r = 0. Факторизуем его как r(r - 2) = 0. Отсюда получаем два корня: r1 = 0 и r2 = 2.

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид yh = c1*e^(0*x) + c2*e^(2*x) = c1 + c2*e^(2*x), где c1 и c2 — произвольные постоянные.

Далее, чтобы найти частное решение уравнения y" - 2y' = x^2 - 1, воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид yp = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Тогда первая и вторая производные этого частного решения равны: yp' = 2Ax + B yp" = 2A

Подставим значение yp, yp' и yp" в уравнение и упростим выражение: 2A - 2(2Ax + B) = x^2 - 1 2A - 4Ax - 2B = x^2 - 1

Собрав коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений: -4A = 0 -2B + 2A = -1

Первое уравнение дает A = 0. Подставляя A = 0 во второе уравнение, получаем -2B = -1, откуда B = 1/2.

Таким образом, частное решение уравнения имеет вид yp = (1/2)x + C, где C — произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, подставим начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 9/4 в уравнение. При x = 0 имеем: y(0) = (1/2)*0 + C = 0, откуда C = 0.

Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0 и y'(0) = 9/4, имеет вид yp = (1/2)x.

Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид y = c1 + c2*e^(2*x) + (1/2)x, где c1, c2 — произвольные постоянные.