Question

Дана функция f(x)=e^x+2/e^x-2.найдите: а) f'(1);. б) f'(-1); в) f'(0).​

Answer 1

$f(x) = \frac{ {e}^{x} + 2 }{ {e}^{x} - 2 }$

$\frac{dy}{dx} = - \frac{4 {e}^{x} }{( {e}^{x} \\ - 2 {)}^{2} }$

а):

$f'(1) = - \frac{4 {e}^{1} }{( {e}^{1} - 2 {)}^{2} } = - 21$

б):

$f'( - 1) = - \frac{4 {e}^{ - 1} }{( {e}^{ - 1} - 2 {)}^{2} } = - 0.55$

в):

$f'(0) = - \frac{4 {e}^{0} }{( {e}^{0} - 2 {)}^{2} } = - 4$

Answer 2

Давайте найдем производную функции \( f(x) = \frac{e^x + 2}{e^x - 2} \) по переменной \( x \) по шагам, используя правило дифференцирования частного и цепного правила.

1. Найдем производную числителя: \[ \begin{align*} \frac{d}{dx}(e^x + 2) &= e^x. \end{align*} \]

2. Найдем производную знаменателя: \[ \begin{align*} \frac{d}{dx}(e^x - 2) &= e^x. \end{align*} \]

3. Запишем производную функции: \[ \begin{align*} f'(x) &= \frac{(e^x)'(e^x - 2) - (e^x + 2)(e^x - 2)'}{(e^x - 2)^2}\\ &= \frac{e^x(e^x - 2) - (e^x + 2)e^x}{(e^x - 2)^2}\\ &= \frac{e^x(e^x - 2) - e^x(e^x + 2)}{(e^x - 2)^2}\\ &= \frac{-4e^x}{(e^x - 2)^2}. \end{align*} \]

Теперь мы можем использовать полученную производную для вычисления значений в конкретных точках.

а) Вычисление \( f'(1) \): \[ \begin{align*} f'(1) &= \frac{-4e^1}{(e^1 - 2)^2}\\ &= \frac{-4e}{(e - 2)^2}. \end{align*} \]

б) Вычисление \( f'(-1) \): \[ \begin{align*} f'(-1) &= \frac{-4e^{-1}}{(e^{-1} - 2)^2}\\ &= \frac{-4}{(e^{-1} - 2)^2}. \end{align*} \]

в) Вычисление \( f'(0) \): \[ \begin{align*} f'(0) &= \frac{-4e^0}{(e^0 - 2)^2}\\ &= \frac{-4}{(-1)^2}\\ &= -4. \end{align*} \]

Таким образом: а) \( f'(1) = \frac{-4e}{(e - 2)^2} \), б) \( f'(-1) = \frac{-4}{(e^{-1} - 2)^2} \), в) \( f'(0) = -4 \).