Question

Докажите тождество: (a/(a2 – 25) – (a – 8)/(a2 – 10a + 25)) : (a – 20)/(a – 5)2 = -2/(a + 5)

Answer 1

смотри фото.......................

Answer 2

Давайте рассмотрим данное тождество и посмотрим, сможем ли мы доказать его.

Имеем тождество: \[ \frac{a}{a^2 - 25} - \frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25} : \frac{a - 20}{(a - 5)^2} = -\frac{2}{a + 5} \]

Для начала, приведем все дроби к общему знаменателю, который равен произведению знаменателей трех дробей. Знаменатель общий у нас будет следующий: \[ (a^2 - 25) \cdot (a^2 - 10a + 25) \cdot (a - 5)^2 \]

Теперь раскроем числители каждой из дробей: 1. Для первой дроби (a/(a^2 - 25)) раскроем знаменатель: \[ \frac{a}{a^2 - 25} = \frac{a}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{a}{a - 5} \cdot \frac{1}{a + 5} \]

2. Для второй дроби ((a - 8)/(a^2 - 10a + 25)) раскроем знаменатель: \[ \frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25} = \frac{a - 8}{(a - 5)^2} = \frac{a - 8}{(a - 5)(a - 5)} = \frac{a - 8}{a - 5} \cdot \frac{1}{a - 5} \]

3. Для третьей дроби ((a - 20)/(a - 5)^2) раскроем знаменатель: \[ \frac{a - 20}{(a - 5)^2} = \frac{a - 20}{(a - 5)(a - 5)} = \frac{a - 20}{a - 5} \cdot \frac{1}{a - 5} \]

Теперь подставим все это обратно в наше тождество: \[ \left( \frac{a}{a - 5} \cdot \frac{1}{a + 5} - \frac{a - 8}{a - 5} \cdot \frac{1}{a - 5} \right) \cdot \frac{a - 5}{a - 20} = -\frac{2}{a + 5} \]

Упростим числитель: \[ \left( \frac{a}{a + 5} - \frac{a - 8}{(a - 5)} \right) \cdot \frac{a - 5}{a - 20} \]

Общий знаменатель у нас теперь равен (a + 5)(a - 5)(a - 5)(a - 20). Умножим числитель и знаменатель на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака в числителе: \[ -\frac{(a - 5)(a - 5)(a - 8) + (a + 5)(a - 5)(a - 5)}{(a + 5)(a - 5)(a - 5)(a - 20)} = -\frac{(a - 5)(a - 5)(a - 8 + a + 5)}{(a + 5)(a - 5)(a - 5)(a - 20)} \]

Сократим (a - 5) в числителе и знаменателе: \[ -\frac{(a - 8 + a + 5)}{(a + 5)(a - 5)(a - 20)} = -\frac{2a - 3}{(a + 5)(a - 20)} \]

Теперь у нас есть дробь с общим знаменателем, и ее можно сравнить с правой частью тождества: \[ -\frac{2a - 3}{(a + 5)(a - 20)} = -\frac{2}{a + 5} \]

Таким образом, тождество доказано.