Question

Найти производную функции y=tg^2x-ctg^2x и вычислить y'(pi/4)

Answer 1

$y=tg^{2} x-ctg^{2} x$
y³=$2tgx* \frac{1}{cos^{2}x}-2ctgx*(- \frac{1}{sin^{2}x } )= \frac{2tgx}{cos^{2}x } + \frac{2ctgx}{sin^{2}x }$
y³($\frac{ \pi }{4}$)=$\frac{2tg( \frac{ \pi }{4} )}{cos^{2}( \frac{ \pi }{4} ) }+ \frac{2ctg( \frac{ \pi }{4} )}{sin^{2}( \frac{ \pi }{4} ) }= \frac{2}{( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^{2} }+ \frac{2}{( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^{2} }=\frac{2}{ \frac{ 2 }{4}} + \frac{2}{ \frac{ 2 }{4}}=4+4=8$

Answer 2

Для нахождения производной функции y=tg^2x-ctg^2x, мы можем использовать правило дифференцирования тригонометрических функций.

Сначала найдем производную от первого слагаемого y=tg^2x. Для этого используем правило дифференцирования функции tg(x), которое гласит, что производная tg(x) равна sec^2(x). Таким образом, производная от tg^2x будет 2*tg(x)*sec^2(x).

Теперь найдем производную от второго слагаемого y=ctg^2x. Для этого используем правило дифференцирования функции ctg(x), которое гласит, что производная ctg(x) равна -csc^2(x). Таким образом, производная от ctg^2x будет -2*ctg(x)*csc^2(x).

Теперь сложим производные от обоих слагаемых, чтобы получить производную функции y=tg^2x-ctg^2x. Получим y' = 2*tg(x)*sec^2(x) - 2*ctg(x)*csc^2(x).

Теперь вычислим значение производной в точке x=pi/4. Для этого подставим x=pi/4 в выражение для производной:

y'(pi/4) = 2*tg(pi/4)*sec^2(pi/4) - 2*ctg(pi/4)*csc^2(pi/4)

Значение тангенса и котангенса в точке pi/4 равно 1, а значения секанса и косеканса в этой точке также равны 1. Подставим эти значения в выражение:

y'(pi/4) = 2*1*1 - 2*1*1 = 2 - 2 = 0

Таким образом, значение производной функции y=tg^2x-ctg^2x в точке x=pi/4 равно 0.