Question

5. Знайти суму перших п'яти членів геометричної прогресії (b n), якщо b1+b4 = 7, b2-b3+b4 = -7.​

Answer 1

Ответ:

5,5

Объяснение:

Система уравнений:

b₁+b₄=7

b₂-b₃+b₄=-7

По формуле n-го члена геометрической прогрессии bₙ=b₁qⁿ⁻¹

1) b₁+b₁q³=7

b₁(1+q³)=7

2) b₁q-b₁q²+b₁q³=-7

b₁(q-q²+q³)=-7

(b₁(1+q³))/(b₁(q-q²+q³))=7/(-7)

1+q³=-(q-q²+q³)

2q³-q²+q+1=0

По формулам ax³+bx₂+cx+d=a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)

(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)=x³-(x₁+x₂+x₃)x²+(x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)x-x₁x₂x₃

q³ -1/2 ·q² +1/2 ·q +1/2=0

Система уравнений:

-(q₁+q₂+q₃)=-(-1/2)

q₁q₂+q₁q₃+q₂q₃=1/2

q₁q₂q₃=1/2

Второе уравнение можем не использовать.

q₁+q₂+q₃=-1/2

q₁q₂q₃=1/2

Допустим

1) q₁=1/2: 2·(1/2)³-(1/2)² +1/2 +1=1/4 -1/4 +2/4 +4/4=6/4=3/2; 3/2≠0

2) q₁=-1/2: 2·(-1/2)³-(-1/2)²+(-1/2)+1=-1/4 -1/4 -2/4 +4/4=0; 0=0

-1/2 +q₂+q₃=-1/2

-1/2 ·q₂q₃=1/2

q₂+q₃=0; -1+1=0

q₂q₃=-1; -1·1=-1

q₂=-1: 2·(-1)³-(-1)²+(-1)+1=-2-1-1+1=-3; -3≠0

q₃=1: 2·1³-1²+1+1=2-1+2=3; 3≠0

Значит, q₂ и q₃ не имеют вещественных корней.

Ответ: знаменатель q₁=-1/2.

b₁(1+q³)=7

b₁(1+(-1/2)³)=7

b₁(8/8 -1/8)=7

b₁=7/(7/8)

b₁=7·8/7

b₁=8 - первый член.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии Sₙ=(b₁(qⁿ-1))/(q-1).

S₅=(b₁(q⁵-1))/(q-1)=(8((-1/2)⁵-1))/(-1/2 -1)=(8(-1/32 -32/32))/(-3/2)=8·(-33/32)·(-2/3)=11/2=5,5

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі потрібно знайти значення першого члена геометричної прогресії (b) та її знаменника (n).

За умовою задачі відомо, що: \[ b_1 + b_4 = 7 \] \[ b_2 - b_3 + b_4 = -7 \]

Також відомо, що члени геометричної прогресії визначаються наступним чином: \[ b_{n} = b \cdot q^{(n-1)} \]

де \( b \) - перший член прогресії, \( q \) - знаменник прогресії, \( n \) - номер члена прогресії.

Розглянемо різницю між другим та третім членами прогресії: \[ b_2 - b_3 = b \cdot q - b \cdot q^2 \]

Також відомо, що: \[ b_2 - b_3 + b_4 = -7 \]

Підставимо вирази для \( b_2 - b_3 \) та \( b_4 \): \[ b \cdot q - b \cdot q^2 + b \cdot q^3 = -7 \]

Розкриваємо дужки та спрощуємо вираз: \[ b \cdot q(1 - q + q^2) = -7 \]

Тепер розглянемо суму перших п'яти членів геометричної прогресії: \[ S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 \]

Суму можна представити у вигляді: \[ S_5 = b + b \cdot q + b \cdot q^2 + b \cdot q^3 + b \cdot q^4 \]

Тут використовується формула для суми геометричної прогресії: \[ S_n = a \cdot \frac{{q^n - 1}}{{q - 1}} \]

де \( a \) - перший член прогресії, \( q \) - знаменник прогресії, \( n \) - кількість членів прогресії.

Отже, сума перших п'яти членів геометричної прогресії буде: \[ S_5 = b \cdot \frac{{q^5 - 1}}{{q - 1}} \]

Тепер можна використовувати вираз для різниці другого та третього члена прогресії, а також рівняння з сумою, щоб знайти значення \( b \) та \( q \). Після знаходження цих значень, можна підставити їх у формулу для суми \( S_5 \) та знайти шукану суму.