Question

Пятый член геометрической прогрессии равен 8, а значение суммы первых трех членов равно 12. Найдите первый член и знаменатель прогрессии

Answer 1

B5=b1*q^4=8
S3=b1*(q^3-1)/(q-1)=12
b1=8/q^4
8/q^4*(q^2+q+1)=12
2(q^2+q+1)=3q^4
нужно решать уравнение 4-ой степени, по теореме виета или через резольвенту (но это в школе не проходят) можно попробовать решить графически.
В итоге получается что q≈1.268 или q≈-0.878
b1≈3.095 или b1≈13.468 (соответственно)

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен q. Тогда пятый член будет равен а*q^4 = 8. (1) А сумма первых трех членов прогрессии равна a + a*q + a*q^2 = 12. (2)

Для начала найдем отношение q, поделив уравнение (1) на уравнение (2): а*q^4 / (a + a*q + a*q^2) = 8 / 12 q^2 / (1 + q + q^2) = 2/3 3q^2 = 2 + 2q + 2q^2 q^2 - 2q - 2 = 0

Решая квадратное уравнение, получаем два корня: q1 = 1 + √3 q2 = 1 - √3

Теперь найдем значение первого члена, используя уравнение (2) и найденные значения для q: a + a*q + a*q^2 = 12 a(1 + q + q^2) = 12 a(1 + q1 + q1^2) = 12 a(1 + 1 + √3 + 1 + 3 + 2√3) = 12 a(2 + 4 + 3√3) = 12 a(6 + 3√3) = 12 a = 12 / (6 + 3√3)

a(1 + q2 + q2^2) = 12 a(1 + 1 - √3 + 1 - 3 + 2√3) = 12 a(2 - 2 + 2√3) = 12 a(2√3) = 12 a = 12 / (2√3)

Таким образом, первый член прогрессии может быть найден как a = 12 / (6 + 3√3) или a = 12 / (2√3), а знаменатель прогрессии может быть найден как q = 1 + √3 или q = 1 - √3.