Question

Решить систему: {x^2+3*y^2-x*y-4*y=-1, x^2-y^2+3*y=0}

Answer 1

$\left \{ {{x^2+3y^2-xy-4y=-1} \atop {x^2-y^2+3y=0}} \right. \left \{ {{3(x^2-xy+3y^2-4y+1)+4(x^2-y^2+3y)=0} \atop {x^2-y^2+3y}} \right. \left \{ {{7x^2-3xy+5y^2=0} \atop {x^2-y^2+3y=0}} \right.$

Преобразуем первое уравнение
$7x^2-3xy+3+5y^2=0 \\ 7x^2-7x\cdot \frac{3}{7} y+3+5y^2=0 \\ 7(x-\frac{3}{14}y)^2-7\cdot \frac{9y^2}{196}+3+5y^2=0 \\ 7(x-\frac{3y}{14})^2+ \frac{131y^2}{28} +3=0$

Откуда видим что правая часть выражения имеет положительное значение, а значит уравнение решений не имеет

Ответ: нет решений

Answer 2

Чтобы решить данную систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения переменных. Я продемонстрирую оба метода для данной системы.

Метод подстановки:

Из второго уравнения системы можно выразить x через y:

уравнение: x^2 - y^2 + 3y = 0

x^2 = y^2 - 3y

x = sqrt(y^2 - 3y)

Теперь подставим это выражение для x в первое уравнение системы:

x^2 + 3y^2 - xy - 4y = -1

(sqrt(y^2 - 3y))^2 + 3y^2 - (sqrt(y^2 - 3y))*y - 4y = -1

y^2 - 3y + 3y^2 - y(sqrt(y^2 - 3y)) - 4y = -1

4y^2 - 8y - y(sqrt(y^2 - 3y)) = -1

4y^2 - 9y - y(sqrt(y^2 - 3y)) = -1

Теперь мы имеем уравнение только с одной переменной y. Мы можем решить его с помощью факторизации или других методов решения квадратных уравнений.

Метод исключения переменных:

Мы начнем с второго уравнения системы:

x^2 - y^2 + 3y = 0

Выразим x через y:

x^2 = y^2 - 3y

x = sqrt(y^2 - 3y)

Теперь подставим это выражение для x в первое уравнение системы:

(sqrt(y^2 - 3y))^2 + 3y^2 - (sqrt(y^2 - 3y))*y - 4y = -1

y^2 - 3y + 3y^2 - y(sqrt(y^2 - 3y)) - 4y = -1

4y^2 - 8y - y(sqrt(y^2 - 3y)) = -1

4y^2 - 9y - y(sqrt(y^2 - 3y)) = -1

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной y. Мы можем решить его с помощью факторизации или других методов решения квадратных уравнений.

К сожалению, после подстановки или исключения переменных, мы получаем сложное уравнение, которое не может быть решено аналитически. Для нахождения численных решений этой системы уравнений, можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод бисекции.