Question

Найди произведение корней многочлена P(x) = 15x^4+ax^3-61x^2+17x+6 , если один из корней равен 1

Answer 1

......................

Answer 2

Если корень многочлена \( P(x) \) равен 1, то мы знаем, что \( P(1) = 0 \), так как корень определяется как значение \( x \), при котором многочлен обращается в ноль.

Подставим \( x = 1 \) в многочлен \( P(x) \):

\[ P(1) = 15(1)^4 + a(1)^3 - 61(1)^2 + 17(1) + 6 \]

\[ P(1) = 15 + a - 61 + 17 + 6 \]

Теперь объединим подобные члены:

\[ P(1) = a - 23 \]

Так как мы знаем, что \( P(1) = 0 \) (по условию, 1 - корень многочлена), то:

\[ a - 23 = 0 \]

Отсюда получаем:

\[ a = 23 \]

Теперь у нас есть значение \( a \). Мы можем использовать его, чтобы найти произведение корней многочлена.

Многочлен \( P(x) \) можно записать в виде:

\[ P(x) = 15x^4 + 23x^3 - 61x^2 + 17x + 6 \]

Теперь мы знаем, что корень \( x = 1 \) соответствует \( a = 23 \). Если \( r \) - корень многочлена, то \((x-r)\) - его множитель. Таким образом, произведение корней равно:

\[ (x-1) \cdot Q(x) \]

где \( Q(x) \) - оставшаяся часть многочлена. Мы уже знаем, что \( a = 23 \), поэтому:

\[ Q(x) = 15x^3 + 23x^2 - 38x - 6 \]

Теперь мы можем записать произведение корней:

\[ P(x) = (x-1) \cdot (15x^3 + 23x^2 - 38x - 6) \]

Это и есть итоговое произведение корней многочлена \( P(x) \).