Question

Докажите, что 2^15 - 4^8 + 8^6 делится на 14.

Answer 1

Число делится на 14, если оно делится на 2 и на 7
 2^15 - 4^8 + 8^6  = 2^15 -2^16 +2^18 = 2^15(1 - 2+2^3)= 2^16*7
1-й множитель = 2^15 - это число чётное, значит оно делится на 2.
2-й множитель = 7 - это число делится на 7

Answer 2

Для того чтобы доказать, что \(2^{15} - 4^{8} + 8^{6}\) делится на 14, мы можем использовать метод доказательства деления на число.

Сначала мы выразим \(2^{15}\), \(4^{8}\) и \(8^{6}\) в более удобной форме: \(2^{15} = (2^3)^5 = 8^5\) \(4^{8} = (2^2)^8 = 2^{16}\) \(8^{6} = (2^3)^6 = 64^3\)

Теперь мы можем переписать \(2^{15} - 4^{8} + 8^{6}\) в виде: \(8^5 - 2^{16} + 64^3\)

Заметим, что \(8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}\), поэтому мы можем заменить \(8^5\) на \(2^{15}\): \(2^{15} - 2^{16} + 64^3\)

Теперь мы можем факторизовать выражение, чтобы увидеть, делится ли оно на 14: \(2^{15} - 2^{16} + 64^3 = 2^{15}(1 - 2 + 64^3/2^{15})\)

Теперь давайте вычислим \(1 - 2 + 64^3/2^{15}\): \(1 - 2 = -1\) \(64^3/2^{15} = (2^6)^3/2^{15} = 2^{18}/2^{15} = 2^3\)

Теперь мы можем переписать выражение в виде: \(2^{15}(-1 + 2^3)\)

Это равно: \(2^{15}(7 - 1)\)

Таким образом, мы видим, что \(2^{15} - 4^{8} + 8^{6}\) равно \(2^{15}(7 - 1)\), что делится на 14, так как 7-1=6 делится на 2, а \(2^{15}\) всегда делится на 14.

Таким образом, мы доказали, что \(2^{15} - 4^{8} + 8^{6}\) делится на 14.