Question

Известно, что x и у -целые числа и х²+9хy+y² делится на 11. доказать, что х²-y² делится на 11

Answer 1

X^2 + 9xy + y^2 = (x + 10y)(x - y) + 11y^2 = 11x^2 - (10x + y)(x - y)

т.к. 11y^2 и 11x^2 делятся на 11, на 11 так же должны делиться (x + 10y)(x-y) и (10x + y)(x-y)
Т.е. либо x-y делится на 11, либо x+10y и 10x+y делятся на 11, причем во втором случае (10x+y) - (x+10y) = 9(x - y) тоже делится на 11. Тогда x-y делится на 11 в любом случае

x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)
x-y делится на 11 -> x^2 - y^2 тоже делится

Answer 2

Для доказательства того, что x² - y² делится на 11, мы можем воспользоваться тем фактом, что x² + 9xy + y² также делится на 11.

Предположим, что x² + 9xy + y² делится на 11. Это означает, что существует целое число k, такое что:

x² + 9xy + y² = 11k ---- (1)

Теперь рассмотрим выражение x² - y². Мы можем записать его как разность квадратов:

x² - y² = (x + y)(x - y)

Теперь давайте заменим x + y и x - y в этом выражении. Мы знаем, что x + y = (x² + 9xy + y²) - 9xy и x - y = (x² + 9xy + y²) - 11xy. Подставим эти значения в наше выражение:

x² - y² = ((x² + 9xy + y²) - 9xy)((x² + 9xy + y²) - 11xy)

Теперь заменим x² + 9xy + y² на 11k (из уравнения (1)):

x² - y² = (11k - 9xy)(11k - 11xy)

x² - y² = 11(11k - 9xy)(k - xy)

Таким образом, мы видим, что x² - y² также делится на 11, так как у нас есть выражение, умноженное на 11.

Таким образом, мы доказали, что если x² + 9xy + y² делится на 11, то и x² - y² также делится на 11.