Question

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, wiedząc, że jej zbiorem wartości jestprzedział (-4, +), największa wartość funkcji w przedziale (1,5) jest równa14, a osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x - 2 = 0

Answer 1

Okej, zacznijmy od znalezienia wzoru funkcji kwadratowej. Ogólny wzór funkcji kwadratowej ma postać:

\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

gdzie \((h, k)\) to współrzędne wierzchołka paraboloidy, a \(a\) to współczynnik określający kierunek i szerokość paraboloidy.

Osią symetrii funkcji kwadratowej jest prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek. Wzór osi symetrii to \(x = h\), więc w tym przypadku \(h = 2\).

Wartość \(k\) to wysokość wierzchołka paraboloidy, czyli najmniejsza (lub największa w zależności od znaku \(a\)) wartość funkcji kwadratowej. W tym przypadku, zbiór wartości funkcji jest przedziałem \((-4, +\infty)\), co oznacza, że paraboloida jest skierowana ku górze, a wartość najmniejsza znajduje się na wierzchołku. Zatem \(k\) jest minimalną wartością funkcji, czyli \(k = -\infty\).

Wzór funkcji kwadratowej przyjmuje teraz postać:

\[ f(x) = a(x - 2)^2 - \infty \]

Następnie, największa wartość funkcji w przedziale \((1, 5)\) wynosi 14. Oznacza to, że punkt \( (3, 14) \) znajduje się na paraboloidzie. Podstawiając ten punkt do wzoru funkcji:

\[ 14 = a(3 - 2)^2 - \infty \]

\[ 14 = a - \infty \]

To oznacza, że \(a\) musi być równa \(\infty\), co jest sprzeczne z definicją funkcji kwadratowej. Możemy zauważyć, że coś jest nie tak z warunkiem, ponieważ funkcja kwadratowa o kierunku w górę nie osiąga maksimum w pewnym punkcie, ale dąży do \(-\infty\). Czy mogłeś pomylić się w treści warunków zadania? Jeśli masz poprawione warunki, proszę podać je, a ja postaram się pomóc w znalezieniu odpowiedzi.