Question

П/2 інтеграл П/6 5ctgx sinx dхдопоможіть будь ласкааа

Answer 1

Звучит як завдання з математичного аналізу, а саме інтегрування виразу. Давайте розглянемо крок за кроком інтегрування виразу \( \frac{\pi}{2} \int_{\frac{\pi}{6}} (5\cot(x) + \sin(x)) \, dx \).

Спочатку давайте знайдемо невизначений інтеграл від кожного доданка окремо:

1. Інтеграл від \( 5\cot(x) \):

\[ \int 5\cot(x) \, dx = 5\int \cot(x) \, dx \]

Використаємо властивості тригонометричних функцій:

\[ = 5\int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \, dx \]

Тепер зробимо заміну \( u = \sin(x) \), отримаємо \( du = \cos(x) \, dx \):

\[ = 5\int \frac{1}{u} \, du \]

Цей інтеграл дуже простий:

\[ = 5\ln|u| + C \]

Де \( C \) - константа інтегрування.

Повертаємось до заміни \( u = \sin(x) \):

\[ = 5\ln|\sin(x)| + C_1 \]

Де \( C_1 \) - нова константа інтегрування.

2. Інтеграл від \( \sin(x) \):

\[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C_2 \]

Де \( C_2 \) - константа інтегрування.

Тепер об'єднаємо результати:

\[ \frac{\pi}{2} \int_{\frac{\pi}{6}} (5\cot(x) + \sin(x)) \, dx = \frac{\pi}{2} \left( 5\ln|\sin(x)| - \cos(x) \right) \Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \]

Підставимо верхню межу і віднімемо значення при нижній межі:

\[ = \frac{\pi}{2} \left[ 5\ln|\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)| - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left( 5\ln|\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)| - \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) \right] \]

\[ = \frac{\pi}{2} \left[ 5\ln|1| - 0 - \left( 5\ln\left|\frac{\sqrt{3}}{2}\right| - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right] \]

\[ = \frac{\pi}{2} \left[ 5\cdot 0 + \frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{2}\sqrt{3} \right] \]

\[ = \frac{\pi}{4} \sqrt{3} \]

Отже, остаточна відповідь \( \frac{\pi}{2} \int_{\frac{\pi}{6}} (5\cot(x) + \sin(x)) \, dx \) дорівнює \( \frac{\pi}{4} \sqrt{3} \).