Question

Знайти розв язки нерівності x^2+|5x-4|-1 ≤ |3x-2|

Answer 1

Відповідь:

Для розв'язання даної нерівності, розглянемо її випадки, коли вирази під модулями від'ємні та додатні окремо.

Розглянемо вирази під модулями, які можуть бути від'ємними:

x^2 - (5x - 4) - 1 ≤ -(3x - 2)

Розкриємо дужки та спростимо нерівність:

x^2 - 5x + 4 - 1 ≤ -3x + 2

x^2 - 5x + 3 ≤ -3x + 2

Піднімемо всі члени на 3x - 2 (з урахуванням зміни знака):

x^2 - 5x + 3 + 3x - 2 ≤ 0

x^2 - 2x + 1 ≤ 0

Тепер ми маємо квадратичну нерівність, яку можна розв'язати. Знайдемо її корені:

(x - 1)^2 ≤ 0

Ця нерівність має один дійсний корінь x = 1.

Розглянемо вирази під модулями, які можуть бути додатними:

x^2 + (5x - 4) - 1 ≤ 3x - 2

Розкриємо дужки та спростимо нерівність:

x^2 + 5x - 4 - 1 ≤ 3x - 2

x^2 + 5x - 5 ≤ 3x - 2

Піднімемо всі члени на 3x - 2 (з урахуванням зміни знака):

x^2 + 5x - 5 - (3x - 2) ≤ 0

x^2 + 5x - 5 - 3x + 2 ≤ 0

x^2 + 2x - 3 ≤ 0

Тепер ми маємо іншу квадратичну нерівність, яку також можна розв'язати. Знайдемо її корені:

(x + 3)(x - 1) ≤ 0

Ця нерівність має корені x ≤ -3 і x ≥ 1.

Тепер знайдемо об'єднання розв'язків обох випадків:

-3 ≤ x ≤ 1

Отже, розв'язком даної нерівності є інтервал -3 ≤ x ≤ 1.

Пояснення:

Answer 2

Давайте розглянемо нерівність, яку ви навели:

x^2 + |5x-4| - 1 ≤ |3x-2|

Щоб розв'язати цю нерівність, спочатку розглянемо два можливих випадки, коли вираз у модулях може бути або додатнім, або від'ємним.

Випадок 1: (5x-4) ≥ 0 та (3x-2) ≥ 0

Якщо обидва вирази у модулях є додатніми, то ми можемо просто видалити модулі і записати нерівність без них:

x^2 + (5x-4) - 1 ≤ (3x-2)

x^2 + 5x - 4 - 1 ≤ 3x - 2

x^2 + 5x - 5 ≤ 3x - 2

x^2 + 2x - 3 ≤ 0

Тепер ми можемо розв'язати цю квадратну нерівність. Якщо ми розкладемо її на множники, отримаємо:

(x - 1)(x + 3) ≤ 0

Знак ≤ означає, що вираз може бути меншим або рівним нулю.

Таким чином, ми отримуємо два інтервали, в яких ця нерівність є правильною: (-∞, -3] і [1, +∞).

Випадок 2: (5x-4) < 0 та (3x-2) < 0

Якщо обидва вирази у модулях є від'ємними, то ми повинні змінити знаки цих виразів після видалення модулів:

x^2 - (5x-4) - 1 ≤ -(3x-2)

x^2 - 5x + 4 - 1 ≤ -3x + 2

x^2 - 5x + 3 ≤ -3x + 2

x^2 - 2x + 1 ≤ 0

Тепер ми знову можемо розв'язати цю квадратну нерівність:

(x - 1)^2 ≤ 0

Ця нерівність має єдиний розв'язок: x = 1.

Загальний розв'язок:

Отже, ми отримали два інтервали для першого випадку: (-∞, -3] і [1, +∞), і один розв'язок для другого випадку: x = 1.

Отримані розв'язки нерівності x^2 + |5x-4| - 1 ≤ |3x-2| залежать від значень виразів 5x-4 та 3x-2, тому вони можуть змінюватися залежно від цих значень.