Question

4) Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y = x² + 1 ; x=0; x= 3; y = 0​

Answer 1

Для нахождения объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси Oх, мы должны воспользоваться формулой поворотного цилиндра.

Для начала найдем точки пересечения криволинейной трапеции с осями координат.

1) Ось Oх пересекается с кривой y = x² + 1 в точке, где y = 0: x² + 1 = 0 x² = -1 Это уравнение не имеет вещественных решений, следовательно, ось Oх не пересекает кривую.

2) Ось Oх пересекается с линией x = 0 в точке (0, 0).

3) Ось Oх пересекается с линией x = 3 в точке (3, 0).

Итак, наша криволинейная трапеция ограничена осью Oх, линией x = 0 и линией x = 3.

Теперь мы можем определить радиус поворотного цилиндра на каждом уровне x.

Радиус поворотного цилиндра на уровне x будет равен y, то есть равен функции y = x² + 1.

Таким образом, общая формула радиуса поворотного цилиндра на уровне x будет: R(x) = x² + 1.

Чтобы найти объем тела, мы будем суммировать объемы поворотных цилиндров на каждом уровне x с помощью интеграла.

Объем поворотного цилиндра на уровне x будет равен разности объемов между внешним цилиндром и внутренним цилиндром.

Объем внешнего цилиндра: V_outer = π * R(x)² * dx

Объем внутреннего цилиндра: V_inner = π * r(x)² * dx

Где r(x) - это радиус внутреннего цилиндра. Он будет равен расстоянию между осью Oх и функцией y = 0, то есть r(x) = 0.

Таким образом, объем тела будет равен интегралу разности объемов:

V = ∫(V_outer - V_inner) dx = ∫(π * (R(x)² - r(x)²)) dx = ∫π * (R(x)² - 0) dx = π * ∫(x² + 1)² dx

Теперь мы можем найти определенный интеграл этой функции в пределах от x = 0 до x = 3 для получения окончательного ответа.

V = π * ∫(x² + 1)² dx = π * ∫(x⁴ + 2x² + 1) dx

Интегрируя это выражение, мы получим окончательное значение объема тела.