Question

Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 2.x, x = 4, y = 0. Сделайте рисунок к задаче.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Формула для расчета

$\displaystyle V=\pi\int\limits^a_b {y^2(x)} \, dx$

Наши пределы а = 4, b = 0

Считаем

$\displaystyle V=\pi\int\limits^4_0 {x^2} \, dx=\pi \frac{x^3}{3} \bigg|_0^4=\pi \frac{4^3}{3} -\pi \frac{0^3}{3} =\frac{64\pi }{3}$

Answer 2

Чтобы найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод цилиндрических слоев. Объем элементарного цилиндрического слоя можно выразить как $V = \pi y^2 \,dx$, где $y$ - расстояние от кривой до оси вращения, $dx$ - элементарная ширина слоя.

У нас есть криволинейная трапеция, ограниченная линиями $y = 2x$, $x = 4$ и $y = 0$. Сначала найдем точки пересечения кривой и линии.

Уравнение кривой $y = 2x$, а уравнение вертикальной линии $x = 4$. Подставим $x = 4$ в уравнение кривой:

$y = 2 \cdot 4 = 8$

Таким образом, точка пересечения - (4, 8). Также линия проходит через начало координат (0, 0).

Теперь построим рисунок. Поскольку у нас есть трапеция, которая ограничена линиями $y = 2x$, $x = 4$ и $y = 0$, рисунок будет представлять собой треугольник, образованный этими линиями.

$$\begin{array}{cccccccccccc} & & & & & \bullet & & & & & \\ & & & & \cdot & & \cdot & & & & \\ & & & \cdot & & & & \cdot & & & \\ & & \cdot & & & & & & \cdot & & \\ & \cdot & & & & & & & & \cdot & \\ \bullet & & & & & & & & & & \bullet \\ \end{array}$$

Теперь мы можем написать интеграл для объема тела:

$V = \pi \int_{0}^{4} (2x)^2 \,dx$

Вычислим этот интеграл:

$V = \pi \int_{0}^{4} 4x^2 \,dx$

$V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 \right]_{0}^{4}$

$V = \pi \left( \frac{4}{3} \cdot 4^3 - \frac{4}{3} \cdot 0^3 \right)$

$V = \pi \cdot \frac{256}{3}$

Таким образом, объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, равен $\frac{256}{3}\pi$.