Question

Скласти канонічне рiвняння еліпса, фокуси якого розміщені на осі Оy симетрично відносно початку координат, якщо відстань між фокусами дорівнює 24, мала вісь дорівнює 10. вирішіть будь ласка та розпишіть як рішати.​

Answer 1

Ответ:  уравнение: (x²/5²) + (y²/13²) = 1.

Объяснение:

Уравнение эллипса, если его оси совпадают с осями координат, имеет вид:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1.

В уравнении эллипса при фокусах на оси Оу значение b > a.

В этом случае большая полуось на оси Оу, малая – на оси Ох.

Из условия имеем фокусное расстояние с = 24/2 = 12 и малую полуось a = 10/2 = 5.

Отсюда находим большую полуось из уравнения b² = a² + c².

b = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Получаем уравнение: (x²/5²) + (y²/13²) = 1.

Answer 2

Для складання канонічного рівняння еліпса, потрібно знати деякі властивості цього геометричного об'єкта. Основна властивість еліпса полягає в тому, що сума відстаней від будь-якої точки на його периметрі до двох фокусів є постійною.

За умовою, фокуси розміщені на осі Oy симетрично відносно початку координат. Відстань між фокусами дорівнює 24, а мала вісь дорівнює 10. Щоб знайти велику вісь еліпса (2а), можна скористатися формулою a² = b² + c², де b - мала вісь, а c - відстань від фокуса до центру еліпса. За умовою, b = 10, тому c = √(a² - b²) = √(a² - 100).

Знаючи c, можна використати властивість еліпса, щоб скласти рівняння. Оскільки фокуси розміщені на осі Oy, то координати фокусів будуть (0, c) і (0, -c). Відстань між фокусами дорівнює 24, тому |c - (-c)| = 24, звідки отримуємо 2c = 24, або c = 12.

Підставимо значення c у попередню формулу, отримаємо √(a² - 100) = 12. Після піднесення обох боків рівняння до квадрата і перенесення термінів, отримаємо a² - 100 = 144, або a² = 244.

Тепер ми знаємо, що 2а = √244, або а = √(244/2), або а = √122.

Отже, велика вісь еліпса (2а) дорівнює 2√122, а мала вісь (2b) дорівнює 20.

Знаючи велику і малу вісі, ми можемо скласти канонічне рівняння еліпса з центром в початку координат. Канонічне рівняння еліпса має вигляд x²/a² + y²/b² = 1.

Підставимо значення a і b знайдені раніше, отримаємо:

x²/(2√122)² + y²/10² = 1.

Отже, канонічне рівняння еліпса, фокуси якого розміщені на осі Oy симетрично відносно початку координат, з відстанню між фокусами 24 і малою віссю 10, має вигляд:

x²/488 + y²/100 = 1.

Це канонічне рівняння еліпса, яке описує його форму та положення на координатній площині.