Question

Решите неравенство f'(x) <g'(x), если: а) f(x) =-x²+x, g(x) =x-10в) f(x) =1/x, g(x) =-xб) f(x) =x³-x², g(x) =3x-x²​

Answer 1

а)

$f'(x) = - 2x + 1 \\ g'(x) = 1 \\ \\ - 2x + 1 < 1 \\ - 2x < 0 \\ x > 0$

б)

$f'( x) = - {x}^{ - 2} = - \frac{1}{ {x}^{2} } \\ g'(x) = - 1 \\ \\ - \frac{1}{ {x}^{2} } < - 1 \\ \frac{1}{ {x}^{2} } > 1 \\ \frac{1 - {x}^{2} }{ {x}^{2} } > 0 \\ \frac{(1 - x)(1 + x)}{ {x}^{2} } > 0 \\ + \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \\ - - ( - 1)- -0 - - 1 - - > \\ x\in( - \infty; - 1)U(0;1)$

в)

$f'(x) = 3 {x}^{2} - 2x \\ g'(x) = 3 - 2x \\ \\ 3 {x}^{2} - 2x < 3 - 2x \\ 3 {x}^{2} - 3 < 0 \\ {x}^{2} - 1 < 0 \\ (x - 1)(x + 1) < 0 \\ + \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \\ - - ( - 1)- - 1 - - > \\ x\in( - 1;1)$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из предложенных неравенств по очереди и найдем их решения.

а) f(x) = -x² + x, g(x) = x - 10

Для решения неравенства f'(x) < g'(x), нам нужно найти производные функций f(x) и g(x) и сравнить их:

f'(x) = d/dx(-x² + x) = -2x + 1 g'(x) = d/dx(x - 10) = 1

Теперь мы можем записать неравенство:

-2x + 1 < 1

Вычитаем 1 с обеих сторон:

-2x < 0

Делим обе стороны на -2, меняя знак неравенства:

x > 0

Итак, решение неравенства f'(x) < g'(x) для данной пары функций - это x > 0.

б) f(x) = 1/x, g(x) = -x

Теперь найдем производные функций f(x) и g(x):

f'(x) = d/dx(1/x) = -1/x² g'(x) = d/dx(-x) = -1

Теперь запишем неравенство:

-1/x² < -1

Умножим обе стороны на x² (поскольку x² положительное число):

-1 < -x²

Для получения положительного значения x² меняем знак неравенства:

1 > x²

Далее извлекаем корни:

1 > |x|

Это неравенство означает, что x может быть любым числом, кроме 0. Таким образом, решение неравенства f'(x) < g'(x) для данной пары функций - любое число x, кроме 0.

в) f(x) = x³ - x², g(x) = 3x - x²

Найдем производные функций f(x) и g(x):

f'(x) = d/dx(x³ - x²) = 3x² - 2x g'(x) = d/dx(3x - x²) = 3 - 2x

Теперь запишем неравенство:

3x² - 2x < 3 - 2x

Заметим, что -2x на обеих сторонах неравенства можно сократить:

3x² < 3

Делим обе стороны на 3:

x² < 1

Чтобы получить x, возьмем корни:

-1 < x < 1

Итак, решение неравенства f'(x) < g'(x) для данной пары функций - это -1 < x < 1.