Question

. Знайдіть інтервали монотонності функції: ​

Answer 1

Объяснение:

1) область возростания(- бесконечности;2)

убывания( 2; + бесконечность)

2) области возростания (- бесконечности;-6)

убывания(-6; + бесконечность)

Answer 2

Щоб знайти інтервали монотонності функції, спершу потрібно знайти похідну цієї функції та визначити знак похідної на різних інтервалах. Залежно від знаку похідної функції на конкретному інтервалі, можна визначити монотонність функції на цьому інтервалі.

Давайте розглянемо деталі цього процесу крок за кроком:

1. Знайдіть похідну функції. Якщо у вас вже є функція, для якої потрібно знайти інтервали монотонності, то спочатку знайдіть її похідну. Похідна функції показує швидкість зміни цієї функції.

2. Знайдіть критичні точки. Це ті значення x, де похідна рівна нулю або не існує. Критичні точки можуть бути точками мінімуму, максимуму або точками перегину.

3. Розділіть діапазони. Розділіть весь діапазон значень x на інтервали, використовуючи критичні точки та інші значущі точки, які впливають на монотонність функції.

4. Знайдіть знак похідної на кожному інтервалі. Використовуйте тестування точок або вивчення знаку похідної на кожному інтервалі. Якщо похідна додатня на інтервалі, то функція зростає на цьому інтервалі; якщо похідна від'ємна, то функція спадає на цьому інтервалі.

5. Визначіть монотонність функції. Залежно від знаку похідної на кожному інтервалі, ви можете визначити монотонність функції на цьому інтервалі. Якщо похідна додатня, функція зростає; якщо похідна від'ємна, функція спадає.

Давайте розглянемо приклад. Нехай ми маємо функцію f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1.

1. Знайдемо похідну цієї функції: f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.

2. Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння f'(x) = 0: 3x^2 - 6x + 2 = 0.

За допомогою квадратного рівняння знайдемо дві критичні точки: x1 = (6 + √12)/3 і x2 = (6 - √12)/3.

3. Розділімо діапазон значень x на інтервали. Критичні точки розділяють діапазон на три інтервали: (-∞, x2), (x2, x1), і (x1, +∞).

4. Знайдемо знак похідної на цих інтервалах:

- Для інтервалу (-∞, x2): Підставляючи будь-яку точку з цього інтервалу у f'(x), ми бачимо, що f'(x) > 0. Отже, функція зростає на цьому інтервалі.

- Для інтервалу (x2, x1): Підставляючи будь-яку точку з цього інтервалу у f'(x), ми бачимо, що f'(x) < 0. Отже, функція спадає на цьому інтервалі.

- Для інтервалу (x1, +∞): Підставляючи будь-яку точку з цього інтервалу у f'(x), ми бачимо, що f'(x) > 0. Отже, функція зростає на цьому інтервалі.

5. Визначимо монотонність функції:

- Функція зростає на інтервалі (-∞, x2) і (x1, +∞). - Функція спадає на інтервалі (x2, x1).

Отже, функція зростає на інтервалах (-∞, x2) і (x1, +∞), і спадає на інтервалі (x2, x1).