Question

Заранее благодарю за ответ! Решите уравнения 1. sin2x + sin4x + cosx = 0 2. cos2x — cos4x = sin6x

Answer 1

Ответ:

1.

$\sin(2x) + \sin(4x) + \cos(x) = 0 \\ 2 \sin( \frac{2x + 4x}{2} ) \cos( \frac{2x - 4x}{2} ) + \cos(x) = 0 \\ 2 \sin(3x) \cos(x) + \cos(x) = 0 \\ \cos(x) (2 \sin(3x) + 1) = 0 \\ \\ \cos(x) = 0 \\ x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi \: n \\ \\ 2\sin(3x) + 1 = 0 \\ \sin(3x) = - \frac{1}{2} \\ 3x_1 = - \frac{\pi}{6} + 2 \pi \: n \\ x_1 = - \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi \: n}{3} \\ 3x2 = - \frac{5\pi}{6} + 2\pi \: n \\ x_2 = - \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi \: n}{3}$

n принадлежит Z.

2.

$\cos(2x) - \cos(4x) = \sin(6x) \\ - 2 \sin( \frac{2 x- 4x}{2} ) \sin( \frac{2x + 4x}{2} ) = \sin(6x) \\ - 2 \times ( - \sin(x)) \sin(3x) - \sin(6x) = 0 \\ 2 \sin(x) \sin(3x) - 2\sin(3x) \cos(3x) = 0 \\ 2\sin(3x) ( \sin(x) - \cos(3x) ) = 0 \\ \\ \sin(3x) = 0 \\ 3x_1 = \pi \: n \\ x_1 = \frac{\pi \: n}{3} \\ \\ \sin(x) - \cos(3x) = 0 \\ - - - - - - - \\ \cos(3x) = \sin( \frac{\pi}{2} - 3x ) \\ - - - - - - - - \\ \sin(x) - \sin( \frac{\pi}{2} - 3x) = 0 \\ 2 \sin( \frac{x - \frac{\pi}{2} + 3x }{2} ) \cos( \frac{x + \frac{\pi}{2} - 3x }{2} ) = 0 \\ 2 \sin( 2x - \frac{\pi}{4} ) \cos( \frac{\pi}{4} - x) = 0 \\ \\ \sin(2x - \frac{\pi}{4} ) = 0 \\ 2x_2 - \frac{\pi}{4} = \pi \: n \\ x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi \: n}{2} \\ \\ \cos( \frac{\pi}{4} - x) = 0 \\ \frac{\pi}{4} - x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi \: n \\ x_3= - \frac{\pi}{4} + \pi \: n$

n принадлежит Z

Answer 2

Для решения данных уравнений, мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические методы. Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. sin(2x) + sin(4x) + cos(x) = 0:

Для начала, мы можем использовать тождество синуса для суммы двух углов:

sin(a) + sin(b) = 2 * sin((a + b)/2) * cos((a - b)/2)

Применяя это тождество к уравнению, мы получаем:

2 * sin(3x) * cos(x) = -cos(x)

Теперь мы можем решить это уравнение, разделив обе стороны на cos(x) (если cos(x) ≠ 0):

2 * sin(3x) = -1

sin(3x) = -1/2

У нас есть три синусоидальных значений, где sin(x) = -1/2:

1) x = 7π/6 + 2πn 2) x = 11π/6 + 2πn 3) x = 19π/6 + 2πn

где n - целое число.

2. cos(2x) - cos(4x) = sin(6x):

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для разности двух углов:

cos(a) - cos(b) = -2 * sin((a + b)/2) * sin((a - b)/2)

Применяя это тождество к уравнению, мы получаем:

-2 * sin(3x) * sin(x) = sin(6x)

Теперь мы можем решить это уравнение, разделив обе стороны на sin(x) (если sin(x) ≠ 0):

-2 * sin(3x) = sin(6x)

Так как у нас есть две синусоидальные функции, где sin(x) = 0:

1) x = πn, где n - целое число. 2) x = 2πn, где n - целое число.

У нас также есть две дополнительные синусоидальные функции, где sin(x) = -2/3:

3) x = arcsin(-2/3) + 2πn 4) x = π - arcsin(-2/3) + 2πn

где n - целое число, а arcsin(-2/3) - это обратная функция синуса.

Общее решение:

Объединяя все полученные значения x, мы получаем общее решение для уравнений:

1) x = 7π/6 + 2πn, где n - целое число. 2) x = 11π/6 + 2πn, где n - целое число. 3) x = 19π/6 + 2πn, где n - целое число. 4) x = πn, где n - целое число. 5) x = 2πn, где n - целое число. 6) x = arcsin(-2/3) + 2πn, где n - целое число. 7) x = π - arcsin(-2/3) + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, это общее решение уравнений sin(2x) + sin(4x) + cos(x) = 0 и cos(2x) - cos(4x) = sin(6x).