Question

Arctgx=arcsin(x/sqrt(1+x^2)) нужно доказать помогите пожалйста люди добрые

Answer 1

Введем замену: $x=tgt, t\in (-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2})$ . Отметим, что область определения исходного выражения - все действительные числа, и при этом множество значений $tgt$ на интервале $(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2})$, очевидно, также все действительные числа. А значит полученное после замены выражение равносильно исходному

$arctg(tgt)=arcsin\dfrac{tgt}{\sqrt{1+tg^2t}}\\ t=arcsin\dfrac{|cost|tgt}{\sqrt{cos^2t+sin^2t}}\\ t=arcsin\dfrac{cost\cdot tgt}{1}\\ t=arcsin(sin t)\\ t=t$

- верно

Ч.т.д.

Answer 2

Доказательство тождества `arctan(x) = arcsin(x/sqrt(1+x^2)` можно провести с использованием геометрических соображений. Давайте разберемся в этом.

Сначала рассмотрим геометрический смысл функции `arcsin(x)` для действительных чисел `x`. Функция `arcsin(x)` определена в интервале [-1, 1] и возвращает угол, который соответствует синусу этого угла и равен `x`. То есть, если мы рассматриваем треугольник, в котором один из углов равен `arcsin(x)`, а противолежащий катет имеет длину `x`, то гипотенуза этого треугольника равна 1.

Теперь давайте рассмотрим функцию `arctan(x)`. Она также определена для всех действительных чисел `x` и возвращает угол, который соответствует тангенсу этого угла и равен `x`. Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен `arctan(x)`, а катет, противолежащий этому углу, равен `x`, а второй катет равен 1, то тангенс этого угла будет равен `x`.

Теперь давайте сравним эти два треугольника. Оба треугольника имеют гипотенузу, равную 1. В первом треугольнике у нас есть угол `arcsin(x)`, который соответствует синусу `x`, а во втором треугольнике у нас есть угол `arctan(x)`, который соответствует тангенсу `x`.

Теперь, если мы рассмотрим соотношение между синусом и тангенсом угла, то у нас есть:

`sin(arcsin(x)) = x` `tan(arctan(x)) = x`

Итак, мы видим, что синус угла, который соответствует `arcsin(x)`, равен `x`, и тангенс угла, который соответствует `arctan(x)`, также равен `x`.

Таким образом, мы можем утверждать, что `arcsin(x) = arctan(x)`, потому что обе функции возвращают угол, соответствующий `x` в разных прямоугольных треугольниках, но эти углы равны между собой.

Это доказывает тождество `arctan(x) = arcsin(x/sqrt(1+x^2)`.