Question

Новый смартфон, прежде чем его пустят в продажу, должен последовательно пройти 99 тестов (от 1-го до 99-го). Тест с номером k смартфон не проходит с вероятностью (k+1)^(-2). В случае если какой-то тест смартфон не проходит, то инженеры весь остаток дня пытаются его исправить, а повторно тест запускается только утром следующего дня (все предыдущие тесты считаются уже пройденными, перепроходить их не надо). Если же смартфон проходит тест, то в этот же день запускается следующий. Пусть K — номер дня, когда смартфон пройдёт тест номер 99. Найдите математическое ожидание числа K . Ответ дайте в виде натурального числа или несократимой дроби, например, 7/5.

Answer 1

Рассмотрим следущую подзадачу: каково матожидание количества дней, требуемых на один тест с вероятностью отказа $p$

С вероятностью $(1-p)$ тест проходится за 0 дней

С вероятностью $p(1-p)$ отказывает в первый день но проходит во второй: то есть проходится за день

С вероятностью $p^2(1-p)$ проходится за два дня. И так далее

В итоге матожидание количества дней для данного теста составляет

$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}np^n(1-p) = (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}np^n$

Сама эта сумма - достаточно известный ряд, но все равно докажем формулу для его суммы.

Пусть

$\displaystyle S(p) = \sum\limts_{n=0}^{\infty}p^n=1/(1-p)$

Это известный результат для суммы бесконечно убывающей геометрической прогресси. Далее возьмем производную по параметру p

$\displaystyle S'(p) = \sum\limits_{n=0}^\infty np^{n-1} = \frac{1}{p}\sum\limits_{n=0}^\infty np^n = \frac{1}{(1-p)^2}\\\\\sum\limits_{n=0}^\infty np^n = \frac{p}{(1-p)^2}$
В итоге матожидание дней на тест с вероятностью отказа p оказывается равным

$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}np^n(1-p) = (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}np^n = \frac{p}{1-p}$

Матожидание же серии тестов (каждый со своей вероятностью отказа) равно сумме матожиданий продолжительностей отдельных тестов. Поэтому итоговый ответ будет

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{1/(k+1)^2}{1-1/(k+1)^2} = \sum\limits_{k=1}^{99}\frac{1}{(k+1)^2-1}=\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{1}{k(k+2)}=\\\\=\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...\right)=\\\\=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\right)=\frac{14949}{20200}$

Answer 2

Для того чтобы найти математическое ожидание числа k, нужно сложить все возможные значения k с их вероятностями и разделить полученную сумму на сумму вероятностей.

Вероятность того, что смартфон пройдет тест номер k, равна (k+1)^(-2).

Таким образом, математическое ожидание можно вычислить по следующей формуле:

E(k) = Σ(k*(k+1)^(-2)) / Σ((k+1)^(-2))

Сумма вероятностей знаменателя (Σ((k+1)^(-2))) является рядом, который можно упростить.

E(k) = Σ(k/(k+1)^2) = Σ(k*(k+1)^(-2))

Мы заметим, что этот ряд очень похож на ряд производных исходного ряда, поэтому мы можем воспользоваться этим для вычисления суммы.

Пусть f(x) = 1/(x+1), тогда f'(x) = -1/(x+1)^2.

Ряд производной будет выглядеть следующим образом:

-Σ(f'(x))

Мы можем интегрировать производную f'(x) дважды, чтобы получить исходный ряд.

Интеграл f'(x) = f(x) = 1/(x+1), поэтому интеграл второго порядка будет выглядеть следующим образом:

-∫∫(1/(x+1)) dx = -ln|ln(x+1)|

Теперь, чтобы вычислить сумму ряда, мы можем взять разность антидифференциала второго порядка ln|ln(x+1)| в точках k+1 и 0:

Σ(k*(k+1)^(-2)) = -(ln|ln(k+1)| - ln|ln(0+1)|)

Таким образом, математическое ожидание числа k равно:

E(k) = -(ln|ln(k+1)| - ln|ln(0+1)|) / Σ((k+1)^(-2))