Question

Знайдіть область визначення функції y = √(8 - x) + (x - 4)/(2 - √x)

Answer 1

Відповідь:     D( y ) = [0 ; 8 ] , крім  х = 4 .  

Пояснення:

    #   y = √(8 - x) + (x - 4)/(2 - √x) ; функція має зміст при умовах :

   { 8 - x ≥ 0 ;              { x ≤ 8 ;                { x ≤ 8 ;             ///////////////

   { 2 - √x ≠ 0 ;   ⇒     { √x ≠ 2 ;    ⇒      { x ≥ 0 ;     ------*------₀------*-------->

   { x ≥ 0 ;                    { x ≥ 0 ;                { x ≠ 4 ;           0      4       8          X  

          D( y ) = [0 ; 8 ] , крім  х = 4 .  

Answer 2

Для знаходження області визначення функції y = √(8 - x) + (x - 4)/(2 - √x), спершу треба врахувати обмеження, які мають вплив на цю функцію.

1. Радикальна функція √(8 - x) має значення, коли вираз під коренем (8 - x) не від'ємний. Тобто:

8 - x ≥ 0

Це нерівність можна вирішити так:

8 - x ≥ 0 x ≤ 8

Отже, функція має область визначення для x ≤ 8.

2. Друга частина функції (x - 4)/(2 - √x) також має свої обмеження. Вираз 2 - √x не може бути рівним нулю, тому ми маємо уникати значень x, для яких:

2 - √x = 0

Ця рівність можна вирішити так:

2 - √x = 0 √x = 2 x = 4

Отже, x не може дорівнювати 4. Також ми повинні враховувати область визначення для дробової частини (x - 4)/(2 - √x), яка включає в себе уникання ділення на нуль. З цього приводу важливо враховувати, що √x не може бути більше 2 (оскільки √4 = 2). Отже:

2 - √x > 0

Ця нерівність можна вирішити так:

2 - √x > 0 -√x > -2 √x < 2

Піднесемо обидві сторони нерівності до квадрата (не забуваючи змінити напрямок нерівності через взяття кореня зі зміни знаку):

x < 4

Отже, функція має область визначення для x < 4, з урахуванням виключення x = 4.

Тепер можемо об'єднати обидві області визначення:

Функція y = √(8 - x) + (x - 4)/(2 - √x) визначена для x < 4 і x ≤ 8, з виключенням x = 4.