Question

Интеграл x•cos2xdx=интеграл x•sin3xdx=​

Answer 1

Ответ:

x * cos2x dx = x^2/2 * 2sinx + C

x * sin3x dx = x^2/2 * (-3cosx) + C

Объяснение:

Если решать по правилу №3:

x^2/2 * 1/2sinx + C

x^2/2 * ( -1/3cosx) + C

Вроде всё должно быть правильно...

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся методом интегрирования по частям.

1) Интеграл ∫x*cos^2(x)dx:

Проведем замену u = x и dv = cos^2(x)dx. Тогда, du = dx и v = ∫cos^2(x)dx = ∫(1 + cos(2x))/2 dx = ∫dx/2 + ∫cos(2x)/2 dx = x/2 + sin(2x)/4.

Используя формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du, получаем: ∫x*cos^2(x)dx = (x/2 + sin(2x)/4)*x - ∫(x/2 + sin(2x)/4)dx.

Выполняем интегрирование и получаем: ∫x*cos^2(x)dx = (x/2 + sin(2x)/4)*x - (x^2/4 + cos(2x)/8) + C, где С - произвольная постоянная.

2) Интеграл ∫x*sin^3(x)dx:

Проведем замену u = x и dv = sin^3(x)dx. Тогда, du = dx и v = ∫sin^3(x)dx.

Для нахождения ∫sin^3(x)dx применим формулу приведения: ∫sin^3(x)dx = ∫(3sin(x) - 4sin^3(x))/8 dx = (-3cos(x) + sin^4(x)/4)/8.

Используя формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du, получаем: ∫x*sin^3(x)dx = (x*(-3cos(x) + sin^4(x)/4)/8) - ∫((-3cos(x) + sin^4(x)/4)/8)dx.

Выполняем интегрирование и получаем: ∫x*sin^3(x)dx = (-3x*cos(x)/8 + x*sin^4(x)/32) - ∫((-3cos(x) + sin^4(x)/4)/8)dx + C, где С - произвольная постоянная.

Таким образом, получаем интегралы: ∫x*cos^2(x)dx = (x/2 + sin(2x)/4)*x - (x^2/4 + cos(2x)/8) + C1, ∫x*sin^3(x)dx = (-3x*cos(x)/8 + x*sin^4(x)/32) - ∫((-3cos(x) + sin^4(x)/4)/8)dx + C2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.