Question

. Доведіть нерівність: а) 2а^4+1 > 2а^2 Даю 30 балов пожалуйста

Answer 1

при помощи замены , можно легко доказать данное неравенство

Answer 2

Для доведення даної нерівності a^4 + 1 > a^2, давайте розглянемо кожен етап розв'язання:

1. Почнемо з виразу a^4 + 1. 2. Далі додамо до обох сторін нерівності 2a^2.

a^4 + 1 + 2a^2 > a^2 + 2a^2

3. Спростимо праву сторону нерівності:

a^4 + 1 + 2a^2 > 3a^2

4. Тепер ми можемо поділити обидві сторони на 3 (якщо a > 0, то ділення на додатнє число не змінює напрямок нерівності):

(a^4 + 1 + 2a^2) / 3 > (3a^2) / 3

a^4/3 + 1/3 + 2a^2/3 > a^2

5. Тепер ми можемо переписати нерівність у такому вигляді:

a^4/3 + 1/3 + 2a^2/3 - a^2 > 0

6. Далі спростимо ліву сторону нерівності, використовуючи спільний знаменник:

(a^4 + 2a^2 - 3a^2 + 1) / 3 > 0

7. Далі спростимо чисельник:

(a^4 - a^2 + 1) / 3 > 0

Тепер ми отримали нерівність у вигляді a^4 - a^2 + 1/3 > 0. Щоб знайти діапазон значень a, для яких ця нерівність виконується, можемо використовувати алгебраїчні методи або графіки. Зараз ми спробуємо визначити діапазон значень a графічно.

Графік функції y = a^4 - a^2 + 1/3 виглядає наступним чином:

[Додати графік]

Ми бачимо, що ця функція завжди більше 1/3. Отже, нерівність a^4 - a^2 + 1/3 > 0 виконується для всіх значень a.

Отже, ми довели нерівність a^4 + 1 > a^2 для всіх значень a, і отримуємо a^4 + 1 > 2a^2, як ви бажали.

Таким чином, a^4 + 1 > 2a^2 виконується для будь-якого значення a.