Question

Найти промежутки возрастания и экстремумы функции У=2х^3-3х^2+5

Answer 1

$y'=(2x^3-3x^2+5)'=(2x^3)'-(3x^2)'+(5)'=6x^2-6x\\ \\ y'=0;~~~ 6x(x-1)=0;~~~~ x_1=0;~~~~ x_2=1$

__+_____(0)__-___(1)___+___
Функция возрастает на промежутке x∈(-∞;0) и x∈(1;+∞), а убывает - x∈(0;1).

В точке х=0 функция имеет локальный максимум, а в точке х=1 - локальный минимум

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и экстремумов функции У = 2х^3 - 3х^2 + 5, мы можем использовать производные функции. Производная позволяет нам определить, когда функция возрастает или убывает, а также найти точки, в которых функция достигает экстремумов.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции У по переменной х. Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования:

У' = (2х^3 - 3х^2 + 5)' = (2х^3)' - (3х^2)' + (5)'

Дифференцируя каждое слагаемое, получим:

У' = (6х^2) - (6х) + 0

У' = 6х^2 - 6х

Нахождение промежутков возрастания и убывания

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, мы должны учесть знак производной. Если производная положительна на определенном интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на определенном интервале, то функция убывает на этом интервале.

Давайте решим неравенство:

У' > 0

6х^2 - 6х > 0

Вынесем общий множитель из левой стороны неравенства:

6х(х - 1) > 0

Теперь рассмотрим три случая:

1. 6х > 0 и х - 1 > 0: - Из 6х > 0 следует, что х > 0. - Из х - 1 > 0 следует, что х > 1. - Объединяя эти два условия, получаем, что х > 1. - Таким образом, функция У возрастает на интервале (1, +∞).

2. 6х < 0 и х - 1 < 0: - Из 6х < 0 следует, что х < 0. - Из х - 1 < 0 следует, что х < 1. - Объединяя эти два условия, получаем, что х < 0. - Таким образом, функция У возрастает на интервале (-∞, 0).

3. 6х > 0 и х - 1 < 0: - Из 6х > 0 следует, что х > 0. - Из х - 1 < 0 следует, что х < 1. - Объединяя эти два условия, получаем, что 0 < х < 1. - Таким образом, функция У убывает на интервале (0, 1).

Нахождение экстремумов

Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти значения х, при которых производная равна нулю.

Давайте решим уравнение:

У' = 6х^2 - 6х = 0

Вынесем общий множитель из левой стороны уравнения:

6х(х - 1) = 0

Таким образом, мы получаем два возможных значения х:

1. 6х = 0, откуда х = 0. 2. х - 1 = 0, откуда х = 1.

То есть, функция У имеет две точки экстремума при х = 0 и х = 1.

График функции

Давайте построим график функции У = 2х^3 - 3х^2 + 5, чтобы лучше визуализировать результаты, которые мы получили.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 3, 400)
y = 2*x3 - 3*x2 + 5

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('У')
plt.title('График функции У = 2х^3 - 3х^2 + 5')
plt.grid(True)
plt.show()


На графике мы можем увидеть, что функция У имеет промежутки возрастания на интервалах (-∞, 0) и (1, +∞), а также экстремумы в точках х = 0 и х = 1.