Question

Помогите!!!! Срочно нужно!!!! Исследовать функцию и построить график: 1)f(x)=-x^3+4x^2-4x 2)f(x)=6x^4-4x^6 3)f(x)=x^3+6x^2+9x ^-степень

Answer 1

нужно взять на графике две любые точки (на практике удобно брать те, которые с удобными целыми координатами). Например, пусть по графику видно, что при x = x1, y = y1, при x = x2, y = y2. Две точки (x1,y1) и (x2,y2) подставляются в формулу линейной функции и получается система уравнений относительно k и b. y1 = k*x1 + b, y2 = k*x2 + b. сначалы вычитаем одно из другого и найдем k. k = (y2 - y1)/(x2 - x1). После этого несложно найти b = (y1*x2-y2*x1)/(x2-x1)

Answer 2

Для каждой из данных функций мы сможем исследовать их свойства и построить графики. 1) Функция f(x) = -x^3 + 4x^2 - 4x + 2: a) Найдем точки пересечения с осями координат: Для этого решим уравнение f(x) = 0. -x^3 + 4x^2 - 4x + 2 = 0 Для нахождения рациональных корней можно воспользоваться рациональной теоремой или поочередно подставлять значения для x. Очевидно, что x = 1 является корнем этого уравнения. (x - 1) является множителем этого уравнения, поэтому f(x) = (x - 1)(-x^2 + 5x - 2) Решим -x^2 + 5x - 2 = 0. Дискриминант D = 5^2 - 4*(-1)*(-2) = 9 x1 = (5 + 3) / 2 = 4, x2 = (5 - 3) / 2 = 1 Итак, точки пересечения с осями координат: (1, 0), (4, 0). b) Найдем экстремумы функции: f'(x) = -3x^2 + 8x - 4 Приравняем эту производную к нулю: -3x^2 + 8x - 4 = 0 D = 8^2 - 4*(-3)*(-4) = 64 - 48 = 16 x1 = (8 + 4) / (2*(-3)) = -12/6 = -2 x2 = (8 - 4) / (2*(-3)) = -4/6 = -2/3 Таким образом, f'(x) = 0 при x = -2 и x = -2/3. Найдем значения f(x) в этих точках: f(-2) = -(-2)^3 + 4(-2)^2 - 4(-2) + 2 = -8 + 16 + 8 + 2 = 18 f(-2/3) = -(-2/3)^3 + 4(-2/3)^2 - 4(-2/3) + 2 = -8/27 + 16/9 + 8/3 + 2 = 2/27 Таким образом, экстремумы функции находятся в точках (-2, 18) и (-2/3, 2/27). c) Исследуем монотонность функции: Для этого рассмотрим знак производной функции f'(x). f'(x) = -3x^2 + 8x - 4 f''(x) = -6x + 8 f''(x) = 0 при x = 4/3. Применим знакопостоянство чтобы определить знак производной и монотонность: -∞ < x < -2/3 | -2/3 < x < 4/3 | 4/3 < x < ∞ f'(x) > 0 | f'(x) < 0 | f'(x) > 0 f(x) убывает | f(x) возрастает | f(x) убывает Таким образом, функция f(x) увеличивается на интервале (-∞, -2/3], убывает на интервале [-2/3, 4/3] и снова увеличивается на интервале [4/3, +∞). d) Найдем значения функции f(x) при x стремящемся к ±∞: lim (x-> ∞) f(x) = -∞ lim (x-> -∞) f(x) = -∞ Построим график функции f(x) = -x^3 + 4x^2 - 4x + 2: (после перевода графика с помощью онлайн-сервисов, таких как Desmos или WolframAlpha) 2) Функция f(x) = 6x^4 - 4x^6: a) Сначала определим интервал, на котором функция определена. Так как в данной функции присутствует четная степень x, то она определена для любых значений x. b) Найдем точки пересечения с осями координат: Для этого решим уравнение f(x) = 0: 6x^4 - 4x^6 = 0 2x^4(3 - 2x^2) = 0 x = 0 (кратность 2) и x = ±√(3/2) (кратность 1) Таким образом, точки пересечения с осями координат: (0, 0), (√(3/2), 0), (-√(3/2), 0). c) Исследуем поведение функции в окрестности точек пересечения с осями координат, используя знакопостоянство: Для этого рассмотрим знак наших производных (первой и второй) в интервалах, разделенных точками пересечения: f'(x) = 24x^3 - 24x^5 f''(x) = 72x^2 - 120x^4 f'(x) = 0 при x = 0 и x = ±√(3/2) f''(x) = 0 при x = 0 и x = ±√(3/2) Возьмем тестовые точки между этими значениями, например: x = -1, x = 1, x = √2 Подставим их в производные и определим их знаки: f'(-1) = 24*(-1)^3 - 24*(-1)^5 = 24 + 24 = 48 (положительное значение, следовательно, f(x) возрастает) f'(1) = 24*1^3 - 24*1^5 = 24 - 24 = 0 (ноль, значит, горизонтальная асимптота) f'(-√2) = 24*(-√2)^3 - 24*(-√2)^5 = -48(√2^3 - √2^5) = -48(2√2 - 8√2) = -48(-6√2) = 288√2 (положительное значение, следовательно, f(x) возрастает) f'(√2) = 24*(√2)^3 - 24*(√2)^5 = 48(√2^3 - √2^5) = 48(2√2 - 8√2) = 48(-6√2) = -288√2 (отрицательное значение, следовательно, f(x) убывает) Аналогичные вычисления можно провести для второй производной и получить знаки в этих трех интервалах. d) Найдем значения функции f(x) при x стремящемся к ±∞: lim (x-> ∞) f(x) = -∞ lim (x-> -∞) f(x) = -∞ Здесь также построение графика возможно с помощью онлайн-сервисов. 3) Функция f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + ^-степень: Степень некорректно указана, тем не менее, мы можем исследовать функцию при трех предпол