Question

Доказать тождество: ctgα/tgα+ctgα = cos²α

Answer 1

$\dfrac{ctg \alpha }{tg \alpha +ctg \alpha } = \dfrac{tg \alpha \cdot ctg \alpha }{tg \alpha \cdot tg \alpha +tg \alpha \cdot ctg \alpha } = \dfrac{1}{tg^2 \alpha +1} = \dfrac{1}{ \frac{1}{\cos^2 \alpha } } =\cos^2 \alpha$

Answer 2

Для доказательства тождества ctgα/tgα + ctgα = cos²α воспользуемся определениями тригонометрических функций.

Определения:

- cotangent (ctgα): это отношение катета прилежащего к гипотенузе к катету противолежащему углу α в прямоугольном треугольнике. - tangent (tgα): это отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. - cosine (cosα): это отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Доказательство:

Начнем с доказательства тождества ctgα/tgα + ctgα = cos²α, используя определения тригонометрических функций:

1. Выразим ctgα и tgα через синус и косинус: ctgα = 1/tgα = cosα/sinα tgα = sinα/cosα

2. Подставим в выражение ctgα/tgα + ctgα: ctgα/tgα + ctgα = (cosα/sinα) / (sinα/cosα) + cosα/sinα = (cosα/sinα) * (cosα/sinα) + cosα/sinα = (cos²α/sin²α) + cosα/sinα = (cos²α + sin²α * cosα) / sinα (используем тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1) = (1 * cosα) / sinα = cosα/sinα = cosα * (1/sinα) = cosα * cscα 3. Используем рекуррентное тождество: cscα = 1/sinα тогда, cosα * cscα = cosα * (1/sinα) = cosα/sinα = cosα * ctgα

4. Вывод: Мы получили, что ctgα/tgα + ctgα = cosα * ctgα = cos²α.

Вывод:

Таким образом, мы успешно доказали тождество ctgα/tgα + ctgα = cos²α, используя определения тригонометрических функций и тригонометрические тождества.