Question

Помогите решить 1) 6 sin^2 x = 5 sin * cos x - cos^2 x 2) 5 sin^2 x + 2 sin x cos x - cos^2 x = 1

Answer 1

...............................................

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и попробуем найти решения. 1) Уравнение: \(6 \sin^2(x) = 5 \sin(x) \cos(x) - \cos^2(x)\) Давайте преобразуем это уравнение, используя тригонометрические тождества: \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\) (тождество Пифагора) \(\sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)\) (тождество двойного угла) Теперь подставим эти выражения в уравнение: \(6 \sin^2(x) = 5 \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) - (1 - \sin^2(x))\) Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \(12 \sin^2(x) = 5 \sin(2x) - 2 + 2 \sin^2(x)\) Теперь объединим все члены синусов: \(12 \sin^2(x) - 2 \sin^2(x) = 5 \sin(2x) - 2\) \(10 \sin^2(x) = 5 \sin(2x) - 2\) Теперь применим формулу для \(\sin(2x)\): \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) Подставляем это обратно в уравнение: \(10 \sin^2(x) = 5 (2\sin(x)\cos(x)) - 2\) \(10 \sin^2(x) = 10 \sin(x)\cos(x) - 2\) Теперь выразим \(\cos(x)\) из другого тождества \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\): \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\) \(\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}\) Подставляем это в уравнение: \(10 \sin^2(x) = 10 \sin(x)\sqrt{1 - \sin^2(x)} - 2\) Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\): \(10 \sin^2(x) - 10 \sin(x)\sqrt{1 - \sin^2(x)} + 2 = 0\) Теперь можно решить это квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\) с помощью подстановки. Выразим \(\sin(x)\) как \(t\): \(10t^2 - 10t\sqrt{1 - t^2} + 2 = 0\) Это уравнение можно решить численно. Решение будет зависеть от конкретных численных значений. 2) Уравнение: \(5 \sin^2(x) + 2 \sin(x) \cos(x) - \cos^2(x) = 1\) Мы уже выразили \(\cos(x)\) как \(\sqrt{1 - \sin^2(x)}\), так что мы можем подставить это выражение в уравнение: \(5 \sin^2(x) + 2 \sin(x) \cos(x) - (1 - \sin^2(x)) = 1\) Теперь у нас есть уравнение только относительно \(\sin(x)\): \(5 \sin^2(x) + 2 \sin(x)\sqrt{1 - \sin^2(x)} - (1 - \sin^2(x)) = 1\) Подставим \(\sin(x)\) как \(t\) и решим это уравнение численно. Обратите внимание, что решения будут зависеть от конкретных численных значений и могут потребовать численных методов для нахождения корней.